7. Вычислите ∫(от 0 до 1) (4-e^x)/e^x dx

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Разделим числитель на знаменатель:
  \[\int_{0}^{1} \frac{4 - e^x}{e^x} dx = \int_{0}^{1} (\frac{4}{e^x} - \frac{e^x}{e^x}) dx = \int_{0}^{1} (4e^{-x} - 1) dx\]
• Шаг 2: Вычислим интеграл от каждой функции:
  \[\int_{0}^{1} (4e^{-x} - 1) dx = 4\int_{0}^{1} e^{-x} dx - \int_{0}^{1} 1 dx\]
  Интеграл от \( e^{-x} \) равен \( -e^{-x} \), а интеграл от 1 равен x.
  Тогда:
  \[= -4e^{-x} \Big|_{0}^{1} - x \Big|_{0}^{1}\]
• Шаг 3: Подставим пределы интегрирования:
  \[= (-4e^{-1} - 1) - (-4e^{0} - 0) = -4e^{-1} - 1 + 4 = 3 - \frac{4}{e}\]

Ответ: \( 3 - \frac{4}{e} \)