4. Вычислите: \(\frac{3^{-9} \cdot 9^{-4}}{27^{-6}}\)

Для вычисления выражения \(\frac{3^{-9} \cdot 9^{-4}}{27^{-6}}\) нам нужно упростить числитель и знаменатель, используя свойства степеней. Шаг 1: Представим все числа как степени числа 3. $$9 = 3^2$$ $$27 = 3^3$$ Шаг 2: Перепишем выражение с использованием степеней числа 3. $$\frac{3^{-9} \cdot (3^2)^{-4}}{(3^3)^{-6}}$$ Шаг 3: Используем свойство степеней \((a^b)^c = a^{b \cdot c}\). $$\frac{3^{-9} \cdot 3^{-8}}{3^{-18}}$$ Шаг 4: Используем свойство степеней \(a^b \cdot a^c = a^{b+c}\) в числителе. $$\frac{3^{-9-8}}{3^{-18}} = \frac{3^{-17}}{3^{-18}}$$ Шаг 5: Используем свойство степеней \(\frac{a^b}{a^c} = a^{b-c}\). $$3^{-17 - (-18)} = 3^{-17 + 18} = 3^1$$ Шаг 6: Вычисляем. $$3^1 = 3$$ Ответ: 3