Вычислите: \(\frac{7}{9} \cdot (\frac{4}{5} - \frac{1}{20}) + \frac{1}{3} : \frac{4}{13}\).

Выполним вычисление по действиям.

1. \(\frac{4}{5} - \frac{1}{20}\). Приведем дроби к общему знаменателю 20: $$ \frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{16}{20} $$ Тогда: $$ \frac{16}{20} - \frac{1}{20} = \frac{16 - 1}{20} = \frac{15}{20} $$ Сократим дробь на 5: $$ \frac{15}{20} = \frac{15:5}{20:5} = \frac{3}{4} $$
2. \(\frac{7}{9} \cdot \frac{3}{4}\). Умножим числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель: $$ \frac{7}{9} \cdot \frac{3}{4} = \frac{7 \cdot 3}{9 \cdot 4} = \frac{21}{36} $$ Сократим дробь на 3: $$ \frac{21}{36} = \frac{21:3}{36:3} = \frac{7}{12} $$
3. \(\frac{1}{3} : \frac{4}{13}\). Чтобы разделить дробь на дробь, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй: $$ \frac{1}{3} : \frac{4}{13} = \frac{1}{3} \cdot \frac{13}{4} = \frac{1 \cdot 13}{3 \cdot 4} = \frac{13}{12} $$
4. \(\frac{7}{12} + \frac{13}{12}\). Сложим дроби с одинаковым знаменателем: $$ \frac{7}{12} + \frac{13}{12} = \frac{7+13}{12} = \frac{20}{12} $$ Сократим дробь на 4: $$ \frac{20}{12} = \frac{20:4}{12:4} = \frac{5}{3} $$ Выделим целую часть: $$ \frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3} $$

Ответ: \(1 \frac{2}{3}\)