Вычислите: \(\frac{3 \cdot (25^{2-\log_5 75} + 4^{-\log_4 3})}{\log_{\frac{1}{3}} \log_3 27 + \log_{64} 4}\)

Смотри, тут всё просто: нам нужно вычислить значение выражения, используя свойства логарифмов и степеней.

Пошаговое решение:

1. Преобразуем числитель:

• \(25^{2-\log_5 75} = 25^2 \cdot 25^{-\log_5 75} = 625 \cdot (5^2)^{-\log_5 75} = 625 \cdot 5^{-2\log_5 75} = 625 \cdot 5^{\log_5 (75^{-2})} = 625 \cdot 75^{-2} = 625 \cdot \frac{1}{75^2} = 625 \cdot \frac{1}{5625} = \frac{625}{5625} = \frac{1}{9}\)
• \(4^{-\log_4 3} = (4^{\log_4 3})^{-1} = 3^{-1} = \frac{1}{3}\)
• Следовательно, числитель: \(3 \cdot (\frac{1}{9} + \frac{1}{3}) = 3 \cdot (\frac{1}{9} + \frac{3}{9}) = 3 \cdot \frac{4}{9} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}\)

2. Преобразуем знаменатель:

• \(\log_3 27 = 3\), так как \(3^3 = 27\)
• \(\log_{\frac{1}{3}} 3 = -1\), так как \((\frac{1}{3})^{-1} = 3\)
• \(\log_{64} 4 = \frac{1}{3}\), так как \(64^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{64} = 4\)
• Следовательно, знаменатель: \(-1 + \frac{1}{3} = -\frac{2}{3}\)

3. Вычисляем значение выражения:

• \(\frac{\frac{4}{3}}{-\frac{2}{3}} = \frac{4}{3} \cdot (-\frac{3}{2}) = -\frac{4 \cdot 3}{3 \cdot 2} = -\frac{12}{6} = -2\)

Ответ: -2