7. Вычислите: \frac{9}{16} \cdot (\frac{1}{4} + \frac{5}{12}) - \frac{8}{15} \cdot \frac{16}{45}.

Для решения данного примера необходимо выполнить действия с обыкновенными дробями.

1. Сначала необходимо сложить дроби в скобках. Для этого нужно привести дроби \(\frac{1}{4}\) и \(\frac{5}{12}\) к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 12 равен 12. Домножаем числитель и знаменатель дроби \(\frac{1}{4}\) на 3, получаем \(\frac{3}{12}\). Тогда:$$\frac{1}{4} + \frac{5}{12} = \frac{3}{12} + \frac{5}{12} = \frac{3+5}{12} = \frac{8}{12}.$$
2. Полученную дробь \(\frac{8}{12}\) можно сократить, разделив числитель и знаменатель на 4:$$\frac{8}{12} = \frac{8 \div 4}{12 \div 4} = \frac{2}{3}.$$
3. Теперь необходимо выполнить умножение \(\frac{9}{16}\) на \(\frac{2}{3}\):$$\frac{9}{16} \cdot \frac{2}{3} = \frac{9 \cdot 2}{16 \cdot 3} = \frac{18}{48}.$$
4. Дробь \(\frac{18}{48}\) можно сократить, разделив числитель и знаменатель на 6:$$\frac{18}{48} = \frac{18 \div 6}{48 \div 6} = \frac{3}{8}.$$
5. Далее необходимо выполнить умножение \(\frac{8}{15}\) на \(\frac{16}{45}\):$$\frac{8}{15} \cdot \frac{16}{45} = \frac{8 \cdot 16}{15 \cdot 45} = \frac{128}{675}.$$
6. Теперь нужно вычесть из \(\frac{3}{8}\) дробь \(\frac{128}{675}\). Для этого приведём дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 8 и 675 равен \(8 \cdot 675 = 5400\).$$\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 675}{8 \cdot 675} = \frac{2025}{5400}.$$$$\frac{128}{675} = \frac{128 \cdot 8}{675 \cdot 8} = \frac{1024}{5400}.$$
7. Выполняем вычитание:$$\frac{2025}{5400} - \frac{1024}{5400} = \frac{2025 - 1024}{5400} = \frac{1001}{5400}.$$

Дробь \(\frac{1001}{5400}\) несократимая.

Ответ: \(\frac{1001}{5400}\)