Вычислите: 5,65 - 4\frac{5}{36} + \frac{1}{6} + \frac{10}{21} \cdot \frac{12}{77}.

1. Представим десятичную дробь в виде обыкновенной и выполним умножение:
   \[\frac{10}{21} \cdot \frac{12}{77} = \frac{10 \cdot 12}{21 \cdot 77} = \frac{10 \cdot 4}{7 \cdot 77} = \frac{40}{539}\]
2. Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 36, 6 и 539 будет 116436:
   \[5\frac{65}{100} - 4\frac{5}{36} + \frac{1}{6} + \frac{40}{539} = 5\frac{164115}{29109} - 4\frac{1615}{116436} + \frac{19406}{116436} + \frac{8560}{116436}\]
3. Выполним вычитание и сложение:
   \[5\frac{164115}{116436} - 4\frac{16170}{116436} + \frac{19406}{116436} + \frac{8560}{116436} = 1\frac{147945 + 19406 + 8560}{116436} = 1\frac{175911}{116436}\]
4. Выделим целую часть из неправильной дроби:
   \[1\frac{175911}{116436} = 1 + \frac{175911}{116436} = 1 + 1\frac{59475}{116436} = 2\frac{59475}{116436}\]
5. Сократим дробь:
   \[2\frac{59475}{116436} = 2\frac{19825}{38812} = 2\frac{25 \cdot 793}{4 \cdot 9703} = 2\frac{19825}{38812}\]

Ответ: 2\(\frac{19825}{38812}\)