Вычислите 2 2/7 × 2,4 × 1 5/9 × 1 9/16 / 3 1/3 × 1,125 × 1 5/7 × 1 7/9

Решение:

Для вычисления приведём все смешанные числа и десятичные дроби в вид обыкновенных дробей.

1. Преобразуем числа в обыкновенные дроби:

• \( 2\frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{16}{7} \)
• \( 2,4 = \frac{24}{10} = \frac{12}{5} \)
• \( 1\frac{5}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 5}{9} = \frac{14}{9} \)
• \( 1\frac{9}{16} = \frac{1 \cdot 16 + 9}{16} = \frac{25}{16} \)
• \( 3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3} \)
• \( 1,125 = \frac{1125}{1000} = \frac{9}{8} \)
• \( 1\frac{5}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 5}{7} = \frac{12}{7} \)
• \( 1\frac{7}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{16}{9} \)

2. Подставим преобразованные дроби в исходное выражение:

\[ \frac{\frac{16}{7} \times \frac{12}{5} \times \frac{14}{9} \times \frac{25}{16}}{\frac{10}{3} \times \frac{9}{8} \times \frac{12}{7} \times \frac{16}{9}} \]

3. Упростим числитель и знаменатель:

Числитель:

\[ \frac{16}{7} \times \frac{12}{5} \times \frac{14}{9} \times \frac{25}{16} = \frac{16 \cdot 12 \cdot 14 \cdot 25}{7 \cdot 5 \cdot 9 \cdot 16} \]

Сокращаем 16 в числителе и знаменателе. Сокращаем 14 и 7 (получаем 2 в числителе). Сокращаем 25 и 5 (получаем 5 в числителе). Сокращаем 12 и 9 (делим на 3, получаем 4 в числителе и 3 в знаменателе).

\[ = \frac{1 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 5}{1 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 1} = \frac{40}{3} \]

Знаменатель:

\[ \frac{10}{3} \times \frac{9}{8} \times \frac{12}{7} \times \frac{16}{9} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 12 \cdot 16}{3 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 9} \]

Сокращаем 9 в числителе и знаменателе. Сокращаем 10 и 8 (делим на 2, получаем 5 в числителе и 4 в знаменателе). Сокращаем 12 и 3 (получаем 4 в числителе). Сокращаем 16 и 4 (получаем 4 в числителе).

\[ = \frac{5 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 4}{1 \cdot 1 \cdot 7 \cdot 1} = \frac{80}{7} \]

4. Теперь делим числитель на знаменатель:

\[ \frac{\frac{40}{3}}{\frac{80}{7}} = \frac{40}{3} \times \frac{7}{80} \]

Сокращаем 40 и 80 (получаем 1 в числителе и 2 в знаменателе).

\[ = \frac{1 \cdot 7}{3 \cdot 2} = \frac{7}{6} \]

5. Представим результат в виде смешанного числа:

\[ \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6} \]

Ответ: \( 1\frac{1}{6} \)