Вычислите: (2/3)^2 + 18^5 / 12^6 : (27/8)^2

Привет! Давай разберем этот пример по шагам. Он кажется сложным, но на самом деле все получится, если действовать аккуратно.

• Первое действие: Возводим дробь в квадрат.

\[ \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9} \]

• Второе действие: Разбираемся со второй частью выражения. Тут у нас деление и степени. Сначала упростим дроби, используя свойства степеней.

\[ \frac{18^5}{12^6} = \frac{(2 \cdot 3^2)^5}{(2^2 \cdot 3)^6} = \frac{2^5 \cdot (3^2)^5}{(2^2)^6 \cdot 3^6} = \frac{2^5 \cdot 3^{10}}{2^{12} \cdot 3^6} = \frac{3^{10-6}}{2^{12-5}} = \frac{3^4}{2^7} \]

• Третье действие: Возводим в квадрат последнюю дробь.

\[ \left(\frac{27}{8}\right)^2 = \left(\frac{3^3}{2^3}\right)^2 = \frac{(3^3)^2}{(2^3)^2} = \frac{3^6}{2^6} \]

• Четвертое действие: Теперь подставим все обратно в пример и вспомним, что деление — это умножение на обратную дробь.

\[ \frac{18^5}{12^6} : \left(\frac{27}{8}\right)^2 = \frac{3^4}{2^7} : \frac{3^6}{2^6} = \frac{3^4}{2^7} \times \frac{2^6}{3^6} = \frac{3^4}{3^6} \times \frac{2^6}{2^7} = \frac{1}{3^{6-4}} \times \frac{1}{2^{7-6}} = \frac{1}{3^2} \times \frac{1}{2^1} = \frac{1}{9} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{18} \]

• Пятое действие: Складываем результаты первого и четвертого действий.

\[ \frac{4}{9} + \frac{1}{18} \]

Приведем к общему знаменателю:

\[ \frac{4 \times 2}{9 \times 2} + \frac{1}{18} = \frac{8}{18} + \frac{1}{18} = \frac{8+1}{18} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2} \]

Ответ: 1/2