Вычислите: \( 4 - 6\frac{1}{8} : \left( 1\frac{5}{22} - 9\frac{5}{6} \right) \)

Решение:

1. Переведем смешанные числа в неправильные дроби:
• \( 6\frac{1}{8} = \frac{6 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{49}{8} \)
• \( 1\frac{5}{22} = \frac{1 \cdot 22 + 5}{22} = \frac{27}{22} \)
• \( 9\frac{5}{6} = \frac{9 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{59}{6} \)
2. Выполним вычитание в скобках:
• \( 1\frac{5}{22} - 9\frac{5}{6} = \frac{27}{22} - \frac{59}{6} \)
• Найдем общий знаменатель для 22 и 6. Общий знаменатель — 66.
• \( \frac{27}{22} = \frac{27 \cdot 3}{22 \cdot 3} = \frac{81}{66} \)
• \( \frac{59}{6} = \frac{59 \cdot 11}{6 \cdot 11} = \frac{649}{66} \)
• \( \frac{81}{66} - \frac{649}{66} = \frac{81 - 649}{66} = \frac{-568}{66} \)
• Сократим дробь на 2: \( \frac{-568}{66} = \frac{-284}{33} \)
3. Выполним деление:
• \( 4 - \frac{49}{8} : \left( \frac{-284}{33} \right) \)
• \( \frac{49}{8} : \left( \frac{-284}{33} \right) = \frac{49}{8} \cdot \left( \frac{33}{-284} \right) = \frac{49 \cdot 33}{8 \cdot (-284)} = \frac{1617}{-2272} \)
• Сократим дробь на 7: \( \frac{231}{-324.57...} \) (Здесь ошибка в расчётах. Давайте пересчитаем.)
• \( \frac{49}{8} : \frac{-284}{33} = \frac{49}{8} \times \frac{33}{-284} = \frac{49 \times 33}{8 \times (-284)} = \frac{1617}{-2272} \)
• Сократим \( 1617 \) и \( 2272 \).
• \( 1617 = 3 \times 7^2 \times 11 \)
• \( 2272 = 2^5 \times 71 \)
• Дроби не сокращаются.
• \( 4 - \frac{1617}{-2272} = 4 + \frac{1617}{2272} \)
• \( 4 = \frac{4 \cdot 2272}{2272} = \frac{9088}{2272} \)
• \( \frac{9088}{2272} + \frac{1617}{2272} = \frac{9088 + 1617}{2272} = \frac{10705}{2272} \)
• Разделим \( 10705 \) на \( 2272 \): \( 10705 : 2272 ⁠ \approx 4.71 \)
• Переведем \( \frac{10705}{2272} \) в смешанное число: \( 10705 = 4 \times 2272 + 1617 \)
• \( \frac{10705}{2272} = 4\frac{1617}{2272} \)

Ответ: \( 4\frac{1617}{2272} \).