1. Вычислите: а) \(\frac{7}{20} \cdot \frac{15}{17}\); б) \(\frac{16}{15} : \frac{8}{25}\); в) \((\frac{3}{4})^2 \cdot (\frac{4}{3})^3\). 2. Вычислите: а) \(\frac{51}{25} : (\frac{8}{25} + \frac{9}{20}) - \frac{64}{35} \cdot \frac{5}{4}\); б) \(4\frac{3}{14} - 1\frac{1}{21}\); в) \(3\frac{5}{6} + 2\frac{7}{15} - 1\frac{29}{30}\). 3. На складе было 350 м ткани. Сначала израсходовали \(\frac{2}{7}\) всей ткани, потом \(\frac{2}{5}\) остатка. Сколько метров ткани осталось на складе? 4. До обеда магазин продал \(\frac{7}{11}\) всех пирожных. После обеда он продал половину остатка и еще 10 пи-рожных. Сколько пирожных было продано за день? 5. Укажите все дроби со знаменателем 11, больше \(\frac{1}{3}\), но меньшие \(\frac{2}{3}\).

1. Вычислите:

а) \(\frac{7}{20} \cdot \frac{15}{17} = \frac{7 \cdot 15}{20 \cdot 17} = \frac{7 \cdot 3 \cdot 5}{4 \cdot 5 \cdot 17} = \frac{21}{68}\)

б) \(\frac{16}{15} : \frac{8}{25} = \frac{16}{15} \cdot \frac{25}{8} = \frac{16 \cdot 25}{15 \cdot 8} = \frac{2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot 5}{3 \cdot 5 \cdot 8} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}\)

в) \((\frac{3}{4})^2 \cdot (\frac{4}{3})^3 = \frac{3^2}{4^2} \cdot \frac{4^3}{3^3} = \frac{3^2 \cdot 4^3}{4^2 \cdot 3^3} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}\)

2. Вычислите:

а) \(\frac{51}{25} : (\frac{8}{25} + \frac{9}{20}) - \frac{64}{35} \cdot \frac{5}{4} =\)

Сначала выполним сложение в скобках. Приведём дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 25 и 20 - это 100. Значит, первую дробь домножаем на 4, а вторую на 5.

\(\frac{8}{25} + \frac{9}{20} = \frac{8 \cdot 4}{25 \cdot 4} + \frac{9 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{32}{100} + \frac{45}{100} = \frac{32 + 45}{100} = \frac{77}{100}\)

Теперь выполним деление:

\(\frac{51}{25} : \frac{77}{100} = \frac{51}{25} \cdot \frac{100}{77} = \frac{51 \cdot 100}{25 \cdot 77} = \frac{51 \cdot 4 \cdot 25}{25 \cdot 77} = \frac{51 \cdot 4}{77} = \frac{204}{77}\)

Выполним умножение:

\(\frac{64}{35} \cdot \frac{5}{4} = \frac{64 \cdot 5}{35 \cdot 4} = \frac{16 \cdot 4 \cdot 5}{7 \cdot 5 \cdot 4} = \frac{16}{7}\)

Теперь вычитание:

\(\frac{204}{77} - \frac{16}{7} = \frac{204}{77} - \frac{16 \cdot 11}{7 \cdot 11} = \frac{204}{77} - \frac{176}{77} = \frac{204 - 176}{77} = \frac{28}{77} = \frac{4 \cdot 7}{11 \cdot 7} = \frac{4}{11}\)

б) \(4\frac{3}{14} - 1\frac{1}{21} = 4\frac{9}{42} - 1\frac{2}{42} = (4-1) + (\frac{9}{42} - \frac{2}{42}) = 3 + \frac{7}{42} = 3 + \frac{1}{6} = 3\frac{1}{6}\)

в) \(3\frac{5}{6} + 2\frac{7}{15} - 1\frac{29}{30} = 3\frac{25}{30} + 2\frac{14}{30} - 1\frac{29}{30} = (3 + 2 - 1) + (\frac{25}{30} + \frac{14}{30} - \frac{29}{30}) = 4 + \frac{25 + 14 - 29}{30} = 4 + \frac{10}{30} = 4 + \frac{1}{3} = 4\frac{1}{3}\)

3. На складе было 350 м ткани.

Сначала израсходовали \(\frac{2}{7}\) всей ткани:

\(350 \cdot \frac{2}{7} = \frac{350 \cdot 2}{7} = \frac{50 \cdot 7 \cdot 2}{7} = 50 \cdot 2 = 100\) м

Осталось после этого:

\(350 - 100 = 250\) м

Потом израсходовали \(\frac{2}{5}\) остатка:

\(250 \cdot \frac{2}{5} = \frac{250 \cdot 2}{5} = \frac{50 \cdot 5 \cdot 2}{5} = 50 \cdot 2 = 100\) м

Осталось на складе:

\(250 - 100 = 150\) м

4. До обеда магазин продал \(\frac{7}{11}\) всех пирожных.

Пусть x - количество пирожных всего.

До обеда продали \(\frac{7}{11}x\).

Осталось после обеда \(x - \frac{7}{11}x = \frac{11}{11}x - \frac{7}{11}x = \frac{4}{11}x\).

После обеда продали половину остатка и ещё 10 пирожных. Значит, продали \(\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{11}x + 10 = \frac{2}{11}x + 10\).

Всего продали \(\frac{7}{11}x + \frac{2}{11}x + 10 = \frac{9}{11}x + 10\).

Осталось пирожных 0, значит, продали все пирожные. Таким образом, \(\frac{9}{11}x + 10 = x\), \(10 = x - \frac{9}{11}x = \frac{2}{11}x\), откуда \(x = \frac{10 \cdot 11}{2} = 55\).

Значит, всего было 55 пирожных. Продали \(\frac{9}{11} \cdot 55 + 10 = 9 \cdot 5 + 10 = 45 + 10 = 55\) пирожных.

5. Укажите все дроби со знаменателем 11, больше \(\frac{1}{3}\), но меньшие \(\frac{2}{3}\).

Надо найти дроби \(\frac{x}{11}\), такие что \(\frac{1}{3} < \frac{x}{11} < \frac{2}{3}\).

Умножим все части неравенства на 33:

\(\frac{1}{3} \cdot 33 < \frac{x}{11} \cdot 33 < \frac{2}{3} \cdot 33\)

\(11 < 3x < 22\)

Разделим на 3:

\(\frac{11}{3} < x < \frac{22}{3}\)

\(3.666... < x < 7.333...\)

Таким образом, целые значения x, удовлетворяющие этому неравенству, равны 4, 5, 6, 7.

Значит, дроби: \(\frac{4}{11}, \frac{5}{11}, \frac{6}{11}, \frac{7}{11}\)

Ответ: \(\frac{21}{68}\); \(3\frac{1}{3}\); \(1\frac{1}{3}\); \(\frac{4}{11}\); \(3\frac{1}{6}\); \(4\frac{1}{3}\); 150 м; 55 пирожных; \(\frac{4}{11}, \frac{5}{11}, \frac{6}{11}, \frac{7}{11}\)