Вычислите алгебраическое дополнение самого первого элемента a₁₁ в системе линейных уравнений:

Решение:

Система линейных уравнений:

$$
\begin{cases}
3x + 2y - z = 4 \\
2x - y + 5z = 23 \\
x + 7y - z = 5
\end{cases}
$$

Алгебраическое дополнение элемента \( a_{11} \) равно \( A_{11} = (-1)^{1+1} M_{11} \), где \( M_{11} \) — минор, полученный вычеркиванием первой строки и первого столбца из матрицы коэффициентов системы.

Матрица коэффициентов:

$$
\begin{pmatrix}
3 & 2 & -1 \\
2 & -1 & 5 \\
1 & 7 & -1
\end{pmatrix}
$$

Минор \( M_{11} \) вычисляется так:

$$
M_{11} = \begin{vmatrix}
-1 & 5 \\
7 & -1
\end{vmatrix} = (-1) \cdot (-1) - 5 \cdot 7 = 1 - 35 = -34
$$

Теперь найдем алгебраическое дополнение \( A_{11} \):

$$
A_{11} = (-1)^{1+1} M_{11} = 1 \cdot (-34) = -34
$$

Ответ: b. -34