Вычислите 8ctg \(\alpha\), если sin \(\alpha = -\frac{4}{5}\), \(\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi\).

Ответ: -6

Решение:

• Шаг 1: Найдем cos \(\alpha\)

\[\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1\] \[\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha\] \[\cos \alpha = \pm \sqrt{1 - \sin^2 \alpha}\] Т.к. \(\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi\), то \(\alpha\) находится в IV четверти, где cos \(\alpha\) > 0. \[\cos \alpha = \sqrt{1 - \left(-\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}\]

• Шаг 2: Вычислим ctg \(\alpha\)

\[\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}\]

• Шаг 3: Вычислим 8ctg \(\alpha\)

\[8 \operatorname{ctg} \alpha = 8 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = -6\]

Ответ: -6