Вычислите: \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n+\int_0^{\pi}\sin(x)\,dx+\log_2(32)\).

1. По определению числа \(e\): \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e\).
2. Вычислим интеграл: \(\displaystyle \int_0^{\pi}\sin(x)\,dx=\left[-\cos(x)\right]_0^{\pi}=-\cos(\pi)+\cos(0)=1+1=2\).
3. Так как \(2^5=32\), то \(\log_2(32)=5\).
4. Складываем результаты: \(e+2+5=e+7\).

Ответ: \(e+7\).