Вычислите \(\frac{1}{\sqrt{2}-1} - \frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} + \frac{1}{2-\sqrt{3}}\).

Решение:

Для вычисления данного выражения, приведём каждый дробь к более простому виду, умножив числитель и знаменатель на сопряжённое выражение.

1. Первая дробь: \(\frac{1}{\sqrt{2}-1} = \frac{1}{\sqrt{2}-1} \cdot \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1} = \frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{2}+1}{2-1} = \sqrt{2}+1\)
2. Вторая дробь: \(\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2} = \sqrt{3}+\sqrt{2}\)
3. Третья дробь: \(\frac{1}{2-\sqrt{3}} = \frac{1}{2-\sqrt{3}} \cdot \frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} = 2+\sqrt{3}\)
4. Теперь подставим полученные значения обратно в исходное выражение: \((\sqrt{2}+1) - (\sqrt{3}+\sqrt{2}) + (2+\sqrt{3})\)
5. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: \(\sqrt{2}+1 - \sqrt{3}-\sqrt{2} + 2+\sqrt{3}\)
6. \((\sqrt{2}-\sqrt{2}) + (-\sqrt{3}+\sqrt{3}) + (1+2)\)
7. \(0 + 0 + 3 = 3\)

Ответ: 3