Вычислите: \( \frac{12^5}{9^4} \)

Решение:

Для вычисления выражения \( \frac{12^5}{9^4} \) преобразуем основания степеней в простые множители:

1. Разложим 12 на простые множители: \( 12 = 2^2 \cdot 3 \).
2. Разложим 9 на простые множители: \( 9 = 3^2 \).
3. Подставим разложения в исходное выражение: \[ \frac{12^5}{9^4} = \frac{(2^2 \cdot 3)^5}{(3^2)^4} \]
4. Используем свойство степеней \( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \) и \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \): \[ \frac{2^{2 \cdot 5} \cdot 3^5}{3^{2 \cdot 4}} = \frac{2^{10} \cdot 3^5}{3^8} \]
5. Используем свойство степеней \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \): \[ 2^{10} \cdot 3^{5-8} = 2^{10} \cdot 3^{-3} \]
6. Представим отрицательную степень как дробь: \[ 2^{10} \cdot \frac{1}{3^3} = \frac{2^{10}}{3^3} \]
7. Вычислим значения: \( 2^{10} = 1024 \) и \( 3^3 = 27 \).
8. Итоговое значение: \[ \frac{1024}{27} \]

Ответ: \( \frac{1024}{27} \).