Вычислите $$ \frac{2}{\sqrt{3}+1} + \frac{1}{\sqrt{5}+2} - \frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} $$

Для вычисления данного выражения, рационализируем знаменатели каждого члена.

1. Первый член:

   $$ \frac{2}{\sqrt{3}+1} = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{3-1} = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{2} = \sqrt{3}-1 $$

2. Второй член:

   $$ \frac{1}{\sqrt{5}+2} = \frac{1(\sqrt{5}-2)}{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)} = \frac{\sqrt{5}-2}{5-4} = \frac{\sqrt{5}-2}{1} = \sqrt{5}-2 $$

3. Третий член:

   $$ \frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{5-3} = \frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{2} = \sqrt{5}+\sqrt{3} $$

Теперь подставим рационализированные члены обратно в исходное выражение:

$$ (\sqrt{3}-1) + (\sqrt{5}-2) - (\sqrt{5}+\sqrt{3}) $$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$$ \sqrt{3}-1 + \sqrt{5}-2 - \sqrt{5}-\sqrt{3} $$

$$ (\sqrt{3}-\sqrt{3}) + (\sqrt{5}-\sqrt{5}) + (-1-2) $$

$$ 0 + 0 - 3 $$

$$ -3 $$

Ответ: -3