Вычислите: $$\frac{6^{4}}{4^{2} \cdot 9^{3}}$$

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Разложим числа в основании степеней на простые множители.
• $$6 = 2 \cdot 3$$
• $$4 = 2^2$$
• $$9 = 3^2$$
2. Шаг 2: Подставим разложенные множители в исходное выражение.
• $$\frac{6^{4}}{4^{2} \cdot 9^{3}} = \frac{(2 \cdot 3)^{4}}{(2^2)^{2} \cdot (3^2)^{3}}$$
3. Шаг 3: Применим свойства степеней $$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$$ и $$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$.
• $$\frac{2^4 \cdot 3^4}{2^{2 \cdot 2} \cdot 3^{2 \cdot 3}} = \frac{2^4 \cdot 3^4}{2^4 \cdot 3^6}$$
4. Шаг 4: Применим свойство степеней $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$.
• $$2^{4-4} \cdot 3^{4-6} = 2^0 \cdot 3^{-2}$$
5. Шаг 5: Применим свойства степеней $$a^0 = 1$$ и $$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$.
• $$1 \cdot \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$$

Ответ: $$\frac{1}{9}$$