Вычислите интеграл ∫_{-1}^{0} x^5 dx

Решение:

Для вычисления определённого интеграла \( \int_{-1}^{0} x^5 dx \) воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница.

1. Найдём первообразную для функции \( x^5 \). Первообразная от \( x^n \) равна \( \frac{x^{n+1}}{n+1} \). В данном случае \( n=5 \), поэтому первообразная равна \( \frac{x^{5+1}}{5+1} = \frac{x^6}{6} \).
2. Теперь вычислим значение первообразной в верхнем и нижнем пределах интегрирования:
• Верхний предел (0): \( \frac{0^6}{6} = 0 \).
• Нижний предел (-1): \( \frac{(-1)^6}{6} = \frac{1}{6} \).
3. Вычтем значение в нижнем пределе из значения в верхнем пределе: \( 0 - \frac{1}{6} = -\frac{1}{6} \).

Таким образом, \( \int_{-1}^{0} x^5 dx = -\frac{1}{6} \).

Ответ: -1/6.