Вычислите интеграл: $$\int_{0}^{\pi/4} 4 \sin(2x) dx$$

Question

Вопрос:

Вычислите интеграл: $$\int_{0}^{\pi/4} 4 \sin(2x) dx$$

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Решение:

Для вычисления определённого интеграла $ \int_{0}^{\pi/4} 4 \sin(2x) dx $ сначала найдём первообразную.

Пусть $ u = 2x $, тогда $ du = 2 dx $ или $ dx = \frac{1}{2} du $.
Подставим $ u $ и $ dx $ в интеграл: $ \int 4 \sin(u) \frac{1}{2} du = 2 \int \sin(u) du $.
Первообразная для $ \sin(u) $ равна $ -\cos(u) $.
Таким образом, первообразная равна $ 2(-\cos(u)) = -2\cos(u) $.
Подставим обратно $ u = 2x $: $ -2\cos(2x) $.
Теперь вычислим определённый интеграл, подставив пределы интегрирования:

\[ \left[ -2\cos(2x) \right]_{0}^{\pi/4} = -2\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) - (-2\cos(2 \cdot 0)) \]\[ = -2\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + 2\cos(0) \]\[ = -2 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \]\[ = 0 + 2 = 2 \]

Ответ: 2