Вычислите интеграл $$\int_{-1}^{1} x^6 dx$$.

Решение:

Для вычисления определённого интеграла от функции \( f(x) = x^6 \) в пределах от -1 до 1, воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница:

\[ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \]

где \( F(x) \) — первообразная функции \( f(x) \).

1. Найдём первообразную для \( x^6 \). По правилу интегрирования степенной функции \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \), первообразная равна: \( F(x) = \frac{x^{6+1}}{6+1} = \frac{x^7}{7} \).
2. Подставим верхний и нижний пределы интегрирования в первообразную:

\[ F(1) = \frac{1^7}{7} = \frac{1}{7} \]

\[ F(-1) = \frac{(-1)^7}{7} = \frac{-1}{7} \]

Теперь вычислим разность:

\[ \int_{-1}^{1} x^6 dx = F(1) - F(-1) = \frac{1}{7} - \left(\frac{-1}{7}\right) = \frac{1}{7} + \frac{1}{7} = \frac{2}{7} \]

Ответ: \( \frac{2}{7} \)