Вычислите интеграл: ∫⁰⁰⁰⁴ /sin² 2x dx

Решение:

Для вычисления интеграла \( \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{8}} \frac{dx}{\sin^2 2x} \) воспользуемся заменой переменной.

1. Пусть \( u = 2x \). Тогда \( du = 2dx \), следовательно \( dx = \frac{1}{2} du \).
2. Изменим пределы интегрирования:
• Нижний предел: когда \( x = -\frac{\pi}{4} \), то \( u = 2 \cdot (-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\pi}{2} \).
• Верхний предел: когда \( x = \frac{\pi}{8} \), то \( u = 2 \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{4} \).
3. Подставим в интеграл:
\[ \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{8}} \frac{dx}{\sin^2 2x} = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\frac{1}{2} du}{\sin^2 u} = \frac{1}{2} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{du}{\sin^2 u} \]
4. Известно, что \( \int \frac{du}{\sin^2 u} = -\cot u + C \).
5. Применим формулу Ньютона-Лейбница:
\[ \frac{1}{2} \left[ -\cot u \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{2} \left( -\cot(\frac{\pi}{4}) - (-\cot(-\frac{\pi}{2})) \right) \]
6. Вычислим значения котангенсов:
• \( \cot(\frac{\pi}{4}) = 1 \)
• \( \cot(-\frac{\pi}{2}) = 0 \)
7. Подставим значения:
\[ \frac{1}{2} \left( -(1) - (-(0)) \right) = \frac{1}{2} (-1 - 0) = -\frac{1}{2} \]

Ответ: -\(\frac{1}{2}\).