Вычислите интеграл Выберите один ответ: a. 1/7 b. 0 c. 1 d. 2/7

Решение:

Нужно вычислить определённый интеграл функции \( f(x) = x^6 \) на интервале от -1 до 1.

Функция \( f(x) = x^6 \) является чётной, так как \( (-x)^6 = x^6 \).

Для чётной функции справедливо свойство:

\[ \int_{-a}^{a} f(x) dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx \]

Применим это свойство к нашему интегралу:

\[ \int_{-1}^{1} x^6 dx = 2 \int_{0}^{1} x^6 dx \]

Теперь найдём первообразную для \( x^6 \). Первообразная для \( x^n \) равна \( \frac{x^{n+1}}{n+1} \).

Первообразная для \( x^6 \) равна \( \frac{x^{6+1}}{6+1} = \frac{x^7}{7} \).

Вычислим определённый интеграл:

\[ 2 \left[ \frac{x^7}{7} \right]_{0}^{1} = 2 \left( \frac{1^7}{7} - \frac{0^7}{7} \right) = 2 \left( \frac{1}{7} - 0 \right) = 2 \cdot \frac{1}{7} = \frac{2}{7} \]

Ответ: 2/7