1. Вычислите изменение внутренней энергии кислорода, находящегося в закрытом сосуде, при его нагревании на 50 °C. Macса газа 10 кг. 2. В цилиндре объемом 0,5 м³ находится газ при температуре 300 К. Определите работу газа при расширении в результате нагревания на 20 К, если давление постоянно и равно 200 кПа. 3. В идеальном тепловом двигателе абсолютная температура нагревателя в 5 раза выше, чем температура холодильника. Нагреватель передал газу количество теплоты 80 кДж. Определите КПД и работу, совершенную газом.

1. Изменение внутренней энергии кислорода

Для нахождения изменения внутренней энергии кислорода, находящегося в закрытом сосуде, воспользуемся формулой:

\[\Delta U = \frac{i}{2} \cdot \frac{m}{\mu} \cdot R \cdot \Delta T\]

где:

• \(\Delta U\) - изменение внутренней энергии,
• \(i\) - число степеней свободы (для кислорода как двухатомного газа \(i = 5\)),
• \(m\) - масса газа (10 кг),
• \(\mu\) - молярная масса кислорода (0.032 кг/моль),
• \(R\) - универсальная газовая постоянная (8.31 Дж/(моль·К)),
• \(\Delta T\) - изменение температуры (50 °C или 50 К).

Подставим значения:

\[\Delta U = \frac{5}{2} \cdot \frac{10}{0.032} \cdot 8.31 \cdot 50\] \[\Delta U = \frac{5}{2} \cdot 312.5 \cdot 8.31 \cdot 50\] \[\Delta U = 2.5 \cdot 312.5 \cdot 8.31 \cdot 50\] \[\Delta U = 325390.625 \ Дж\] \[\Delta U \approx 325.4 \ кДж\]

2. Работа газа при расширении

Для определения работы газа при расширении при постоянном давлении, используем формулу:

\[A = p \cdot \Delta V\]

где:

• \(A\) - работа газа,
• \(p\) - давление (200 кПа = 200000 Па),
• \(\Delta V\) - изменение объема.

Изменение объема можно найти, используя уравнение Клапейрона-Менделеева:

\[p \cdot V = \frac{m}{\mu} \cdot R \cdot T\]

где:

• \(V\) - объем газа,
• \(m\) - масса газа,
• \(\mu\) - молярная масса газа,
• \(R\) - универсальная газовая постоянная,
• \(T\) - температура.

Для двух состояний газа:

\[p \cdot V_1 = \frac{m}{\mu} \cdot R \cdot T_1\] \[p \cdot V_2 = \frac{m}{\mu} \cdot R \cdot T_2\]

Вычитая первое уравнение из второго, получим:

\[p \cdot (V_2 - V_1) = \frac{m}{\mu} \cdot R \cdot (T_2 - T_1)\] \[p \cdot \Delta V = \frac{m}{\mu} \cdot R \cdot \Delta T\]

Тогда работа газа:

\[A = \frac{m}{\mu} \cdot R \cdot \Delta T\]

Так как объем 0.5 м³ и температура 300 К, то мы можем определить количество вещества газа (n) используя уравнение Клапейрона-Менделеева:

\[p \cdot V = n \cdot R \cdot T\] \[n = \frac{p \cdot V}{R \cdot T} = \frac{200000 \cdot 0.5}{8.31 \cdot 300} \approx 40.096 \ моль\]

Теперь найдем изменение объема при нагревании на 20 К:

\[\Delta V = \frac{n \cdot R \cdot \Delta T}{p} = \frac{40.096 \cdot 8.31 \cdot 20}{200000} \approx 0.00333 \ м^3\]

Работа газа:

\[A = p \cdot \Delta V = 200000 \cdot 0.00333 = 666 \ Дж\]

3. КПД и работа идеального теплового двигателя

Для идеального теплового двигателя, работающего по циклу Карно, КПД определяется как:

\[\eta = 1 - \frac{T_\text{холод}}\ {T_\text{нагрев}}\]

где:

• \(\eta\) - КПД,
• \(T_\text{холод}\) - абсолютная температура холодильника,
• \(T_\text{нагрев}\) - абсолютная температура нагревателя.

Из условия, \(T_\text{нагрев} = 5 \cdot T_\text{холод}\), следовательно:

\[\eta = 1 - \frac{T_\text{холод}}{5 \cdot T_\text{холод}} = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5} = 0.8\]

КПД равен 80% или 0.8.

Работа, совершенная газом, определяется как:

\[A = \eta \cdot Q_\text{нагрев}\]

где:

• \(A\) - работа,
• \(\eta\) - КПД,
• \(Q_\text{нагрев}\) - количество теплоты, переданное нагревателем (80 кДж = 80000 Дж).

Подставим значения:

\[A = 0.8 \cdot 80000 = 64000 \ Дж\] \[A = 64 \ кДж\]

Ответ: 1. ΔU = 325.4 кДж; 2. A = 666 Дж; 3. η = 0.8, A = 64 кДж