10. Вычислите к, с – нечетные последовательные числа при условии, что к · с> (к + с) на 167:

Пусть k и c – нечетные последовательные числа. Тогда можно записать:

• k = 2n + 1
• c = 2n + 3, где n – целое число.

По условию задачи, произведение k и c больше их суммы на 167, то есть:

$$k \cdot c = (k + c) + 167$$

Подставим выражения для k и c через n:

$$(2n + 1)(2n + 3) = (2n + 1 + 2n + 3) + 167$$

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$$4n^2 + 6n + 2n + 3 = 4n + 4 + 167$$ $$4n^2 + 8n + 3 = 4n + 171$$

Перенесем все в левую часть:

$$4n^2 + 8n - 4n + 3 - 171 = 0$$ $$4n^2 + 4n - 168 = 0$$

Разделим обе части уравнения на 4:

$$n^2 + n - 42 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно n. Дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169$$

Найдем корни уравнения:

$$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 13}{2} = \frac{12}{2} = 6$$ $$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 13}{2} = \frac{-14}{2} = -7$$

Так как n должно быть целым числом, оба значения подходят. Найдем соответствующие значения k и c:

1. Для n = 6:
• k = 2n + 1 = 2 \cdot 6 + 1 = 12 + 1 = 13
• c = 2n + 3 = 2 \cdot 6 + 3 = 12 + 3 = 15
2. Для n = -7:
• k = 2n + 1 = 2 \cdot (-7) + 1 = -14 + 1 = -13
• c = 2n + 3 = 2 \cdot (-7) + 3 = -14 + 3 = -11

Проверим условие k * c > k + c на 167 для обоих наборов чисел:

1. Для k = 13 и c = 15:
$$13 \cdot 15 = 195$$ $$13 + 15 + 167 = 28 + 167 = 195$$
2. Для k = -13 и c = -11:
$$(-13) \cdot (-11) = 143$$ $$(-13) + (-11) + 167 = -24 + 167 = 143$$

Оба набора чисел удовлетворяют условию.

Ответ: k = 13, с = 15 или k = -13, с = -11