Вычислите: lim |x^2 - 1| / (x - 1) при x → 1+

Решение:

Для вычисления предела \( \lim_{x \to 1^+} \frac{|x^2 - 1|}{x - 1} \), рассмотрим выражение \( x^2 - 1 \) при \( x \to 1^+ \).

Когда \( x \) стремится к 1 справа (например, \( x = 1.1, 1.01, 1.001 \)), \( x^2 \) будет больше 1, поэтому \( x^2 - 1 > 0 \). Следовательно, \( |x^2 - 1| = x^2 - 1 \).

Предел принимает вид:

\[ \lim_{x \to 1^+} \frac{x^2 - 1}{x - 1} \]

Разложим числитель на множители, используя формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \):

\[ \lim_{x \to 1^+} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} \]

Сократим \( (x - 1) \) в числителе и знаменателе:

\[ \lim_{x \to 1^+} (x + 1) \]

Подставим \( x = 1 \):

\[ 1 + 1 = 2 \]

Ответ: 2