Вычислите: lim_{x→8} (x^3 - 512) / (x - 8)

Решение:

Заметим, что при подстановке \( x=8 \) в дробь получаем неопределённость вида \( \frac{0}{0} \). Поэтому применим правило Лопиталя или разложим числитель на множители.

Способ 1: Разложение на множители

Числитель \( x^3 - 512 \) является разностью кубов, так как \( 512 = 8^3 \). Используем формулу разности кубов: \( a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) \).

Тогда числитель разлагается как \( x^3 - 8^3 = (x-8)(x^2 + 8x + 8^2) = (x-8)(x^2 + 8x + 64) \).

Подставим это в предел:

\[ \lim_{x\to 8} \frac{(x-8)(x^2 + 8x + 64)}{x-8} \]\[ = \lim_{x\to 8} (x^2 + 8x + 64) \]\[ = 8^2 + 8 \cdot 8 + 64 \]\[ = 64 + 64 + 64 \]\[ = 192 \]

Способ 2: Правило Лопиталя

Так как мы имеем неопределённость \( \frac{0}{0} \), продифференцируем числитель и знаменатель отдельно:

\[ \frac{d}{dx}(x^3 - 512) = 3x^2 \]\[ \frac{d}{dx}(x - 8) = 1 \]

Теперь вычислим предел от отношения производных:

\[ \lim_{x\to 8} \frac{3x^2}{1} \]\[ = 3 \cdot 8^2 \]\[ = 3 \cdot 64 \]\[ = 192 \]

Ответ: 192