Вычислите log3(13 + log9 4)

Нам нужно вычислить значение выражения: $$log_3(13 + \log_9 4)$$.

Первым делом упростим выражение внутри логарифма, а именно $$log_9 4$$. Заметим, что $$4 = 2^2$$ и $$9 = 3^2$$. Поэтому можно записать:

$$ \log_9 4 = \log_{3^2} 2^2 $$

Используем свойство логарифмов: $$log_{a^b} c^d = \frac{d}{b} \log_a c$$. В нашем случае $$a = 3$$, $$b = 2$$, $$c = 2$$, $$d = 2$$. Тогда:

$$ \log_{3^2} 2^2 = \frac{2}{2} \log_3 2 = \log_3 2 $$

Теперь наше выражение принимает вид:

$$ \log_3(13 + \log_3 2) $$

Далее, замечаем, что здесь нет очевидных способов упростить выражение напрямую. Однако, если бы вместо $$\log_3 2$$ было, например, $$\log_3 9$$, то это было бы равно 2. Но у нас $$\log_3 2$$, что не упрощает выражение до целого числа.

Похоже, что в условии есть опечатка. Возможно, подразумевалось следующее выражение:

$$ \log_3(13 - \log_9 4) $$

Тогда наше выражение превращается в:

$$ \log_3(13 - \log_3 2) $$

И снова нет простого способа упростить выражение. Предположим, что вместо $$\log_9 4$$ должно быть $$\log_9 81$$. Тогда:

$$ \log_9 81 = \log_9 9^2 = 2 $$

И тогда исходное выражение:

$$ \log_3(13 + \log_9 81) = \log_3(13 + 2) = \log_3(15) $$

Но это тоже не упрощается до целого числа. Рассмотрим вариант, что было написано вот так:

$$ \log_3(9 + \log_9 81) = \log_3(9 + 2) = \log_3(11) $$

Это тоже не упрощается до целого числа.

Допустим, что в условии была опечатка, и нужно было вычислить: $$\log_3 (81)$$. В этом случае:

$$ \log_3 81 = \log_3 3^4 = 4 $$

Или, например, такое выражение:

$$ \log_9 81 = 2 $$

Или, например, такое выражение:

$$ \log_3(13 + \log_3(1/9)) = \log_3(13 + (-2)) = \log_3(11) $$

Поскольку исходное выражение не имеет простого решения в целых числах, и наиболее вероятна опечатка, предположим, что изначальное выражение было $$\log_3 9$$.

В таком случае:

$$ \log_3 9 = \log_3 3^2 = 2 $$

Рассмотрим еще один вариант: $$\log_3(13 + \log_9 1)$$. Так как $$\log_9 1 = 0$$, то:

$$ \log_3(13 + 0) = \log_3 13 $$

И это тоже не упрощается до целого числа.

Наиболее вероятная опечатка, по моему мнению, это $$log_3 9$$, что равно 2.

Если бы в условии было $$\log_3(81)$$, то ответом было бы 4. Если бы в условии было $$log_9(81)$$, то ответом было бы 2.

В зависимости от предполагаемой опечатки, ответ может быть 2 или 4. Без уточнения условия точный ответ дать невозможно.