Вычислите модуль реакции опоры в точке B.

Дано:

Распределенная нагрузка \( q = 3 \text{ Н/м} \)

Сосредоточенная сила \( P = 20 \text{ Н} \)

Сосредоточенный момент \( m = 17 \text{ Н} · \text{м} \)

Длины: \( a = 0,5 \text{ м}, b = 0, 4 \text{ м}, c = 0, 7 \text{ м} \)

Решение:

Определим силы, действующие на систему:

1. Распределенная нагрузка \( q \) преобразуется в одну силу \( F_q \), равную произведению \( q \) на длину участка \( c \):

\[ F_q = q \cdot c = 3 \text{ Н/м} \cdot 0,7 \text{ м} = 2,1 \text{ Н} \]

Эта сила приложена в середине участка \( c \).

2. Сосредоточенная сила \( P \) приложена под углом 30° к вертикали. Разложим её на горизонтальную \( P_x \) и вертикальную \( P_y \) составляющие:

\[ P_x = P · \sin(30^°) = 20 \text{ Н} \cdot 0,5 = 10 \text{ Н} \] \[ P_y = P · \cos(30^°) = 20 \text{ Н} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 17,32 \text{ Н} \]

3. Сосредоточенный момент \( m = 17 \text{ Н} · \text{м} \) действует в точке B.

Опора в точке B — шарнирно-неподвижная, поэтому она оказывает реакцию, состоящую из горизонтальной \( R_{Bx} \) и вертикальной \( R_{By} \) составляющих.

Запишем уравнения равновесия для всей системы. Возьмём сумму моментов относительно точки D, чтобы исключить реакции \( R_{Dx} \) и \( R_{Dy} \) (если бы они были, но по схеме D - точка приложения силы P, поэтому нет опоры). Для того, чтобы найти реакции в точке B, нужно взять сумму моментов относительно точки D, где приложена сила P. Однако, по условию требуется найти реакцию опоры в точке B. Для этого мы должны рассмотреть равновесие всей системы, а затем применить уравнения равновесия. Поскольку сила \( P \) приложена под углом, она оказывает момент на систему. В точке D нет опоры, поэтому мы должны рассмотреть моменты сил относительно точки, где мы хотим найти реакции, то есть точки B.

Для нахождения реакций в точке B, мы запишем сумму моментов всех внешних сил относительно точки D, к которой приложена сила P:

\[ ∑ M_D = 0 \]

Моменты сил относительно точки D:

Момент от \( R_{Bx} \) (плечо \( b \)): \( R_{Bx} · b \) (против часовой стрелки).

Момент от \( R_{By} \) (плечо \( c + a \)): \( R_{By} · (c+a) \) (по часовой стрелке).

Момент от \( F_q \) (плечо \( c/2 \)): \( F_q · \frac{c}{2} \) (против часовой стрелки).

Момент от \( m \): \( m \) (против часовой стрелки).

Момент от \( P_x \) (плечо \( b \)): \( P_x · b \) (по часовой стрелке).

Момент от \( P_y \) (плечо 0, так как сила приложена в точке D): \( P_y · 0 = 0 \).

Уравнение моментов относительно точки D:

\[ R_{Bx} · b - R_{By} · (c+a) + F_q · \frac{c}{2} + m - P_x · b = 0 \]\[ R_{Bx} · 0,4 - R_{By} · (0,7+0,5) + 2,1 · \frac{0,7}{2} + 17 - 10 · 0,4 = 0 \]\[ 0,4 R_{Bx} - 1,2 R_{By} + 0,735 + 17 - 4 = 0 \]\[ 0,4 R_{Bx} - 1,2 R_{By} + 13,735 = 0 \]

Теперь запишем сумму горизонтальных сил, равную нулю:

\[ ∑ F_x = 0 \]\[ R_{Bx} + P_x = 0 \]\[ R_{Bx} + 10 = 0 \]\[ R_{Bx} = -10 \text{ Н} \]

Подставим \( R_{Bx} \) в уравнение моментов:

\[ 0,4 · (-10) - 1,2 R_{By} + 13,735 = 0 \]\[ -4 - 1,2 R_{By} + 13,735 = 0 \]\[ -1,2 R_{By} + 9,735 = 0 \]\[ R_{By} = \frac{-9,735}{-1,2} \approx 8,1125 \text{ Н} \]

Теперь найдём модуль реакции опоры в точке B:

\[ |R_B| = \sqrt{R_{Bx}^2 + R_{By}^2} \]\[ |R_B| = \sqrt{(-10)^2 + (8,1125)^2} \]\[ |R_B| = \sqrt{100 + 65,81265625} \]\[ |R_B| = \sqrt{165,81265625} \approx 12,8768 \text{ Н} \]

Округляем до десятых:

\( |R_B| ≈ 12,9 \text{ Н} \)

Ответ: 12,9 Н.