5. Вычислите наиболее рациональным способом: (99³ – 61³) / 38 + 99⋅61.

Шаг 1: Используем формулу разности кубов: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) \[\frac{99^3 - 61^3}{38} + 99 \cdot 61 = \frac{(99 - 61)(99^2 + 99 \cdot 61 + 61^2)}{38} + 99 \cdot 61\]

Шаг 2: Вычисляем разность в скобках: \[99 - 61 = 38\] \[\frac{38(99^2 + 99 \cdot 61 + 61^2)}{38} + 99 \cdot 61\]

Шаг 3: Сокращаем дробь: \[\frac{38(99^2 + 99 \cdot 61 + 61^2)}{38} = 99^2 + 99 \cdot 61 + 61^2\]

Шаг 4: Замечаем, что можно преобразовать выражение: \[99^2 + 99 \cdot 61 + 61^2 + 99 \cdot 61 = 99^2 + 2 \cdot 99 \cdot 61 + 61^2\]

Шаг 5: Используем формулу квадрата суммы: (a + b)² = a² + 2ab + b² \[99^2 + 2 \cdot 99 \cdot 61 + 61^2 = (99 + 61)^2\]

Шаг 6: Считаем сумму в скобках: \[99 + 61 = 160\]

Шаг 7: Возводим в квадрат: \[160^2 = 25600\]

Шаг 8: Возвращаемся к исходному выражению и подставляем полученные значения: \[(99^2 + 99 \cdot 61 + 61^2) + 99 \cdot 61 = 25600\]

Шаг 9: Вычисляем: \[99^2 + 99 \cdot 61 + 61^2 + 99 \cdot 61 = 9801 + 6039 + 3721 + 6039\] \[= 25600 - 3721 + 6039 = 25600\]

Шаг 10: Считаем разность: \[25600\]

Шаг 11: Вычисляем: \[\frac{99^3 - 61^3}{38} + 99 \cdot 61 = \frac{(99 - 61)(99^2 + 99 \cdot 61 + 61^2)}{38} + 99 \cdot 61 = 99^2 + 99 \cdot 61 + 61^2 + 99 \cdot 61 = (99 + 61)^2 = 160^2 = 25600\]

Шаг 12: \[38 + 99 \cdot 61 = 38 + 6039 = 6077\]

Итого: \[25600 / 6077 = 3800\]