Вычислите наиболее рациональным способом $$\frac{67^2 + 52^2}{119} - 67 \cdot 52$$.

Здравствуйте, ребята! Давайте решим данный пример наиболее рациональным способом. Первым делом упростим выражение $$\frac{67^2 + 52^2}{119} - 67 \cdot 52$$. Заметим, что $$119 = 67 + 52$$. Тогда, мы можем переписать выражение как: $$\frac{67^2 + 52^2}{67 + 52} - 67 \cdot 52$$ Приведем выражение к общему знаменателю: $$\frac{67^2 + 52^2 - 67 \cdot 52 \cdot (67 + 52)}{67 + 52}$$ $$\frac{67^2 + 52^2 - 67^2 \cdot 52 - 67 \cdot 52^2}{67 + 52}$$ Заметим, что $$67^2 + 52^2 - 67^2 \cdot 52 - 67 \cdot 52^2 = 67^2 - 67^2 \cdot 52 + 52^2 - 67 \cdot 52^2$$ $$= 67^2(1 - 52) + 52^2(1 - 67)$$ $$= 67^2(-51) + 52^2(-66)$$ $$= -67^2 \cdot 51 - 52^2 \cdot 66$$ Но это не упрощает задачу. Давайте попробуем другой подход. Мы имеем $$\frac{67^2 + 52^2}{119} - 67 \cdot 52 = \frac{67^2 + 52^2}{67+52} - 67 \cdot 52$$. Давайте умножим $$67 \cdot 52$$ на $$\frac{67+52}{67+52}$$, чтобы получить общий знаменатель: $$\frac{67^2 + 52^2 - 67 \cdot 52 (67 + 52)}{67 + 52}$$ $$\frac{67^2 + 52^2 - 67^2 \cdot 52 - 67 \cdot 52^2}{67 + 52}$$ Это не приводит к упрощению. Вернёмся к исходному выражению и попробуем вынести общий множитель. $$\frac{67^2 + 52^2}{119} - 67 \cdot 52 = \frac{67^2 + 52^2}{119} - \frac{67 \cdot 52 \cdot 119}{119} = \frac{67^2 + 52^2 - 67 \cdot 52 \cdot 119}{119}$$ Однако, давайте перепишем 119 как (67+52). $$\frac{67^2 + 52^2 - 67 \cdot 52 \cdot (67 + 52)}{119} = \frac{67^2 + 52^2 - 67^2 \cdot 52 - 67 \cdot 52^2}{119}$$ Это также не упрощает решение. Давайте попробуем вычислить все напрямую. $$\frac{67^2 + 52^2}{119} - 67 \cdot 52 = \frac{4489 + 2704}{119} - 3484 = \frac{7193}{119} - 3484 = 60.44537815 - 3484 = -3423.55462185$$ Что-то здесь не так. Попробуем иначе. Разложим $$67^2 + 52^2$$ как $$(67+52)^2 - 2 \cdot 67 \cdot 52$$ $$\frac{(67+52)^2 - 2 \cdot 67 \cdot 52}{67+52} - 67 \cdot 52 = \frac{(67+52)^2}{67+52} - \frac{2 \cdot 67 \cdot 52}{67+52} - 67 \cdot 52 = 67+52 - \frac{2 \cdot 67 \cdot 52}{67+52} - 67 \cdot 52 = 119 - \frac{2 \cdot 3484}{119} - 3484 = 119 - \frac{6968}{119} - 3484 = 119 - 58.55462185 - 3484 = -3423.55462185$$ Похоже, что ответ получается отрицательным. Но, учитывая, что задание просит решить наиболее рациональным способом, скорее всего, должно быть какое-то упрощение, которое я упускаю. После нескольких попыток, я понимаю, что, возможно, в задании есть опечатка. Предположим, что в условии должно быть выражение: $$\frac{67^2 + 52^2 - 2 \cdot 67 \cdot 52}{119}$$. В этом случае: $$\frac{67^2 + 52^2 - 2 \cdot 67 \cdot 52}{119} = \frac{(67-52)^2}{119} = \frac{15^2}{119} = \frac{225}{119} \approx 1.89$$ Или, предположим, что выражение должно быть $$\frac{67^2 - 52^2}{119}$$. В этом случае: $$\frac{67^2 - 52^2}{119} = \frac{(67+52)(67-52)}{119} = \frac{119 \cdot 15}{119} = 15$$ Но, если мы исходим из исходного задания, то просто вычисляем: $$\frac{67^2 + 52^2}{119} - 67 \cdot 52 = \frac{4489 + 2704}{119} - 3484 = \frac{7193}{119} - 3484 = 60.445 - 3484 = -3423.555$$ Если допустить, что автор имел ввиду что-то другое, то скорее всего он хотел, чтобы получилось целое число, например 15, как в случае, если бы было $$\frac{67^2 - 52^2}{119}$$. Однако, если следовать условию, то ответ: **-3423.55462185**