Вычислите определенный интеграл: ∫_{-1}^{1} (9-x²)(x²-16) : (x²- 7x + 12)dx

Решение определенного интеграла:

Дан интеграл:

\[ \int_{-1}^{1} \frac{(9-x^2)(x^2-16)}{x^2-7x+12} dx \]

1. Разложим числитель и знаменатель на множители.
2. Числитель: \( (9-x^2)(x^2-16) = (3-x)(3+x)(x-4)(x+4) \)
3. Знаменатель: \( x^2-7x+12 \). Найдем корни уравнения \( x^2-7x+12 = 0 \). \( D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1 \). \( x_1 = \frac{7+1}{2} = 4 \), \( x_2 = \frac{7-1}{2} = 3 \).
4. Значит, \( x^2-7x+12 = (x-3)(x-4) \).
5. Подставим разложенные множители в интеграл:

\[ \int_{-1}^{1} \frac{(3-x)(3+x)(x-4)(x+4)}{(x-3)(x-4)} dx \]

1. Сократим общие множители. Заметим, что \( (3-x) = -(x-3) \).

\[ \int_{-1}^{1} \frac{-(x-3)(3+x)(x-4)(x+4)}{(x-3)(x-4)} dx \]

\[ \int_{-1}^{1} -(3+x)(x+4) dx \]

1. Раскроем скобки: \( -(3+x)(x+4) = -(3x + 12 + x^2 + 4x) = -(x^2 + 7x + 12) = -x^2 - 7x - 12 \).
2. Теперь вычислим интеграл:

\[ \int_{-1}^{1} (-x^2 - 7x - 12) dx = \left[ -\frac{x^3}{3} - \frac{7x^2}{2} - 12x \right]_{-1}^{1} \]

1. Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

\[ \left( -\frac{1^3}{3} - \frac{7 \cdot 1^2}{2} - 12 \cdot 1 \right) - \left( -\frac{(-1)^3}{3} - \frac{7 \cdot (-1)^2}{2} - 12 \cdot (-1) \right) \]

\[ \left( -\frac{1}{3} - \frac{7}{2} - 12 \right) - \left( \frac{1}{3} - \frac{7}{2} + 12 \right) \]

1. Раскроем скобки и упростим:

\[ -\frac{1}{3} - \frac{7}{2} - 12 - \frac{1}{3} + \frac{7}{2} - 12 \]

\[ -\frac{2}{3} - 24 \]

\[ -\frac{2}{3} - \frac{72}{3} = -\frac{74}{3} \]

Ответ: -\(\frac{74}{3}\).