Вычислите определитель произведения матриц А⋅АТ (произведение матрицы и транспонированной к ней) A = [[8, -5], [9, -5]]

Решение:

Сначала найдём транспонированную матрицу \( A^T \).

\( A = \begin{pmatrix} 8 & -5 \\ 9 & -5 \end{pmatrix} \)

\( A^T = \begin{pmatrix} 8 & 9 \\ -5 & -5 \end{pmatrix} \)

Теперь найдём произведение матриц \( A · A^T \):

\( A · A^T = \begin{pmatrix} 8 & -5 \\ 9 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 8 & 9 \\ -5 & -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (8 \cdot 8 + (-5) \cdot (-5)) & (8 \cdot 9 + (-5) \cdot (-5)) \\ (9 \cdot 8 + (-5) \cdot (-5)) & (9 \cdot 9 + (-5) \cdot (-5)) \end{pmatrix} \)

\( A · A^T = \begin{pmatrix} (64 + 25) & (72 + 25) \\ (72 + 25) & (81 + 25) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 89 & 97 \\ 97 & 106 \end{pmatrix} \)

Теперь вычислим определитель этой матрицы:

\( | A · A^T | = (89 \cdot 106) - (97 \cdot 97) \)

\( 89 \cdot 106 = 9434 \)

\( 97 \cdot 97 = 9409 \)

\( | A · A^T | = 9434 - 9409 = 25 \)

Ответ: c. 25