Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (355– 356). 355. a) y=(x+2)², y=0, x=0; 6) y=\frac{1}{(x+1)²}+1, y=0, x=0, x=2; в) у=2х-х², y=0; г) y=-(x-1)³, y=0, x=0. 356. a) y=3 sin(x+\frac{3π}{4}), y=0, x=-\frac{3π}{4}, x=\frac{3π}{4}; 6) y=2 cos 2x, y=0, x=-\frac{π}{4}, x=\frac{π}{4}; B) y=sin x-\frac{1}{2}, y=0, x=\frac{π}{6}, x=\frac{5π}{6}; r) y=1-cos x, y=0, x=-\frac{π}{2}, x=\frac{π}{2}.

355. a)

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=(x+2)², осью Ox и прямой x=0, вычисляется как определенный интеграл:

\[S = \int_{0}^{0} (x+2)^2 dx\]

Так как верхний и нижний предел интегрирования совпадают (оба равны 0), интеграл равен нулю:

\[S = 0\]

Ответ: 0

355. б)

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции \(y = \frac{1}{(x+1)^2} + 1\), осью Ox и прямыми x=0 и x=2, вычисляется как определенный интеграл:

\[S = \int_{0}^{2} (\frac{1}{(x+1)^2} + 1) dx\] \[S = \int_{0}^{2} (\frac{1}{(x+1)^2} + 1) dx = \left[ -\frac{1}{x+1} + x \right]_{0}^{2} = (-\frac{1}{3} + 2) - (-1 + 0) = -\frac{1}{3} + 2 + 1 = 3 - \frac{1}{3} = \frac{8}{3}\]

Ответ: \(\frac{8}{3}\)

355. в)

Решение:

Сначала найдем точки пересечения графика функции y = 2x - x² с осью Ox, то есть решим уравнение 2x - x² = 0:

\[2x - x^2 = 0 \Rightarrow x(2 - x) = 0\]

Корни уравнения: x = 0 и x = 2.

Теперь вычислим площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = 2x - x² и осью Ox на интервале [0, 2]:

\[S = \int_{0}^{2} (2x - x^2) dx = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = (2^2 - \frac{2^3}{3}) - (0^2 - \frac{0^3}{3}) = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12 - 8}{3} = \frac{4}{3}\]

Ответ: \(\frac{4}{3}\)

355. г)

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = -(x-1)³, осью Ox и прямой x=0, вычисляется как определенный интеграл:

Сначала найдем точки пересечения графика функции y = -(x-1)³ с осью Ox, то есть решим уравнение -(x-1)³ = 0:

\[-(x-1)^3 = 0 \Rightarrow x = 1\]

Теперь вычислим площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = -(x-1)³ и осью Ox на интервале [0, 1]:

\[S = \int_{0}^{1} -(x-1)^3 dx = -\int_{0}^{1} (x-1)^3 dx = -\left[ \frac{(x-1)^4}{4} \right]_{0}^{1} = -(\frac{(1-1)^4}{4} - \frac{(0-1)^4}{4}) = - (0 - \frac{1}{4}) = \frac{1}{4}\]

Ответ: \(\frac{1}{4}\)

356. a)

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции \(y = 3 \sin(x + \frac{3\pi}{4})\), осью Ox и прямыми \(x = -\frac{3\pi}{4}\) и \(x = \frac{3\pi}{4}\), вычисляется как определенный интеграл:

\[S = \int_{-\frac{3\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} 3 \sin(x + \frac{3\pi}{4}) dx\]

Первообразная функции \(3 \sin(x + \frac{3\pi}{4})\) равна \(-3 \cos(x + \frac{3\pi}{4})\). Поэтому:

\[S = \left[ -3 \cos(x + \frac{3\pi}{4}) \right]_{-\frac{3\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} = -3 \cos(\frac{3\pi}{4} + \frac{3\pi}{4}) - (-3 \cos(-\frac{3\pi}{4} + \frac{3\pi}{4}))\] \[S = -3 \cos(\frac{3\pi}{2}) + 3 \cos(0) = -3 \cdot 0 + 3 \cdot 1 = 3\]

Ответ: 3

356. б)

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = 2 cos 2x, осью Ox и прямыми x = -π/4 и x = π/4, вычисляется как определенный интеграл:

\[S = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} 2 \cos(2x) dx\]

Первообразная функции 2 cos(2x) равна sin(2x). Поэтому:

\[S = \left[ \sin(2x) \right]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) - \sin(2 \cdot (-\frac{\pi}{4})) = \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(-\frac{\pi}{2}) = 1 - (-1) = 2\]

Ответ: 2

356. в)

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции \(y = \sin x - \frac{1}{2}\), осью Ox и прямыми \(x = \frac{\pi}{6}\) и \(x = \frac{5\pi}{6}\), вычисляется как определенный интеграл:

\[S = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}} (\sin x - \frac{1}{2}) dx\]

Первообразная функции \(\sin x - \frac{1}{2}\) равна \(-\cos x - \frac{1}{2}x\). Поэтому:

\[S = \left[ -\cos x - \frac{1}{2}x \right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}} = (-\cos(\frac{5\pi}{6}) - \frac{1}{2} \cdot \frac{5\pi}{6}) - (-\cos(\frac{\pi}{6}) - \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{6})\] \[S = (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{5\pi}{12}) - (-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{12}) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{5\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{12} = \sqrt{3} - \frac{4\pi}{12} = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3}\]

Ответ: \(\sqrt{3} - \frac{\pi}{3}\)

356. г)

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = 1 - cos x, осью Ox и прямыми x = -π/2 и x = π/2, вычисляется как определенный интеграл:

\[S = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos x) dx\]

Первообразная функции 1 - cos x равна x - sin x. Поэтому:

\[S = \left[ x - \sin x \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = (\frac{\pi}{2} - \sin(\frac{\pi}{2})) - (-\frac{\pi}{2} - \sin(-\frac{\pi}{2})) = (\frac{\pi}{2} - 1) - (-\frac{\pi}{2} + 1) = \frac{\pi}{2} - 1 + \frac{\pi}{2} - 1 = \pi - 2\]

Ответ: \(\pi - 2\)