1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = –х² + 3 и у = 2x.

Ответ: 10.67

Шаг 1: Найдем точки пересечения графиков.

Приравняем уравнения:

\[-x^2 + 3 = 2x\]

Преобразуем уравнение:

\[x^2 + 2x - 3 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Где a = 1, b = 2, c = -3

\[x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)}\] \[x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}\] \[x = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2}\] \[x = \frac{-2 \pm 4}{2}\]

Получаем два корня:

\[x_1 = \frac{-2 + 4}{2} = 1\] \[x_2 = \frac{-2 - 4}{2} = -3\]

Точки пересечения: x = 1 и x = -3.

Шаг 2: Вычислим площадь фигуры как интеграл.

Площадь фигуры равна интегралу от -3 до 1 разности функций:

\[S = \int_{-3}^{1} (-x^2 + 3 - 2x) dx\]

Найдем первообразную функции:

\[F(x) = \int (-x^2 + 3 - 2x) dx = -\frac{x^3}{3} + 3x - x^2 + C\]

Вычислим определенный интеграл:

\[S = F(1) - F(-3)\] \[F(1) = -\frac{1^3}{3} + 3(1) - 1^2 = -\frac{1}{3} + 3 - 1 = \frac{-1 + 9 - 3}{3} = \frac{5}{3}\] \[F(-3) = -\frac{(-3)^3}{3} + 3(-3) - (-3)^2 = -\frac{-27}{3} - 9 - 9 = 9 - 9 - 9 = -9\] \[S = \frac{5}{3} - (-9) = \frac{5}{3} + 9 = \frac{5 + 27}{3} = \frac{32}{3}\]

Площадь фигуры:

\[S = \frac{32}{3} \approx 10.67\]

Ответ: 10.67