2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: a) y=4-x², y=x+5, x=-1 и х = 1; б) у=х³, у=8 и х = 1; в) у = х²+1 и у=7-х.

Ответ: a) 24.67; б) 9; в) 12.33

a) y = 4 - x², y = x + 5, x = -1 и x = 1

• Шаг 1: Определим, какая функция больше на заданном промежутке.

Сравним значения функций y = 4 - x² и y = x + 5 на промежутке [-1, 1]. При x = 0: y = 4 - 0² = 4 и y = 0 + 5 = 5. Значит, y = x + 5 больше.

• Шаг 2: Найдем площадь фигуры как интеграл разности функций на промежутке [-1, 1].

\[S = \int_{-1}^{1} ((x + 5) - (4 - x²)) dx = \int_{-1}^{1} (x² + x + 1) dx\]

• Шаг 3: Вычислим интеграл.

\[S = \int_{-1}^{1} (x² + x + 1) dx = \left[\frac{x³}{3} + \frac{x²}{2} + x\right]_{-1}^{1}\]

\[S = (\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 1) - (\frac{-1}{3} + \frac{1}{2} - 1) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{2}{3} + 2 = \frac{2}{3} + \frac{6}{3} = \frac{8}{3}\]

\[S = \frac{8}{3} = 2 \frac{2}{3} \approx 2.67\]

Ответ: Площадь фигуры равна \(\frac{8}{3}\) или примерно 2.67.

б) y = x³, y = 8 и x = 1

• Шаг 1: Определим, какая функция больше на заданном промежутке [1, 2].

y = 8 больше y = x³ на этом промежутке (т.к. x³ изменяется от 1 до 8, а y = 8 постоянно). Площадь фигуры равна интегралу разности функций y = 8 и y = x³ на промежутке [1, 2].

• Шаг 2: Найдем площадь фигуры как интеграл разности функций на промежутке [1, 2].

\[S = \int_{1}^{2} (8 - x³) dx\]

• Шаг 3: Вычислим интеграл.

\[S = \int_{1}^{2} (8 - x³) dx = \left[8x - \frac{x⁴}{4}\right]_{1}^{2}\]

\[S = (8 \cdot 2 - \frac{2⁴}{4}) - (8 \cdot 1 - \frac{1⁴}{4}) = (16 - \frac{16}{4}) - (8 - \frac{1}{4}) = 16 - 4 - 8 + \frac{1}{4} = 12 - 8 + \frac{1}{4} = 4 + \frac{1}{4} = \frac{16}{4} + \frac{1}{4} = \frac{17}{4}\]

\[S = \frac{17}{4} = 4.25\]

Ответ: Площадь фигуры равна \(\frac{17}{4}\) или 4.25.

в) y = x² + 1 и y = 7 - x

• Шаг 1: Найдем точки пересечения графиков функций, приравняв их уравнения:

\[x² + 1 = 7 - x \Rightarrow x² + x - 6 = 0\]

• Шаг 2: Решим квадратное уравнение:

\[x² + x - 6 = 0 \Rightarrow (x + 3)(x - 2) = 0 \Rightarrow x₁ = -3, x₂ = 2\]

• Шаг 3: Определим, какая функция больше на промежутке [-3, 2].

При x = 0: y = 0² + 1 = 1 и y = 7 - 0 = 7. Значит, y = 7 - x больше.

• Шаг 4: Найдем площадь фигуры как интеграл разности функций на промежутке [-3, 2].

\[S = \int_{-3}^{2} ((7 - x) - (x² + 1)) dx = \int_{-3}^{2} (-x² - x + 6) dx\]

• Шаг 5: Вычислим интеграл.

\[S = \int_{-3}^{2} (-x² - x + 6) dx = \left[-\frac{x³}{3} - \frac{x²}{2} + 6x\right]_{-3}^{2}\]

\[S = (-\frac{8}{3} - \frac{4}{2} + 12) - (-\frac{-27}{3} - \frac{9}{2} - 18) = (-\frac{8}{3} - 2 + 12) - (9 - \frac{9}{2} - 18) = \frac{-8}{3} + 10 - 9 + \frac{9}{2} + 18 = \frac{-16}{6} + \frac{54}{6} + 19 = \frac{38}{6} + 19 = \frac{19}{3} + 19 = \frac{19}{3} + \frac{57}{3} = \frac{76}{3}\]

\[S = \frac{125}{6} = 21 \frac{1}{6} \approx 21.17\]

Ответ: Площадь фигуры равна \(\frac{125}{6}\) или примерно 21.17.

Ответ: a) 8/3; б) 17/4; в) 125/6