750. Вычислите площадь закрашенной фигуры, изображённой на рисунке 45.

Рассмотрим рисунок 45.

а) Площадь закрашенной фигуры можно вычислить как площадь квадрата со стороной 2 см минус площадь четверти круга радиусом 2 см.

Площадь квадрата: $$S_{квадрата} = a^2 = 2^2 = 4 \text{ см}^2$$

Площадь круга: $$S_{круга} = \pi r^2 = \pi (2^2) = 4\pi \text{ см}^2$$

Площадь четверти круга: $$S_{1/4 круга} = \frac{1}{4}S_{круга} = \frac{1}{4} (4\pi) = \pi \text{ см}^2$$

Площадь закрашенной фигуры: $$S_{закр.фигуры} = S_{квадрата} - S_{1/4 круга} = 4 - \pi \approx 4 - 3.14 = 0.86 \text{ см}^2$$

б) Площадь закрашенной фигуры можно вычислить как площадь квадрата со стороной 2 см минус площадь вписанного ромба, состоящего из 4-х равных секторов круга с углом 45°.

Площадь квадрата: $$S_{квадрата} = a^2 = 2^2 = 4 \text{ см}^2$$

Площадь круга: $$S_{круга} = \pi r^2 = \pi (1^2) = \pi \text{ см}^2$$

Сектор круга с углом 45° - это 1/8 круга. Площадь сектора: $$S_{сектора} = \frac{1}{8}S_{круга} = \frac{1}{8} \pi \text{ см}^2$$

Площадь ромба: $$S_{ромба} = 4 \cdot S_{сектора} = 4 \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{2} \approx \frac{3.14}{2} = 1.57 \text{ см}^2$$

Площадь закрашенной фигуры: $$S_{закр.фигуры} = S_{квадрата} - S_{ромба} = 4 - \frac{\pi}{2} \approx 4 - 1.57 = 2.43 \text{ см}^2$$

в) Площадь закрашенной фигуры можно вычислить как площадь полукруга радиуса 8 см минус две площади полукруга радиуса 4 см.

Площадь полукруга радиуса 8 см: $$S_{полукруга} = \frac{1}{2} \pi R^2 = \frac{1}{2} \pi (8^2) = 32\pi \text{ см}^2$$

Площадь полукруга радиуса 4 см: $$S_{полукруга} = \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi (4^2) = 8\pi \text{ см}^2$$

Площадь двух полукругов радиуса 4 см: $$2 \cdot 8\pi = 16\pi \text{ см}^2$$

Площадь закрашенной фигуры: $$S_{закр.фигуры} = 32\pi - 16\pi = 16\pi \approx 16 \cdot 3.14 = 50.24 \text{ см}^2$$

Ответ: а) $$0.86 \text{ см}^2$$, б) $$2.43 \text{ см}^2$$, в) $$50.24 \text{ см}^2$$