Вычислите площадь земли, отведенного под участок, периметр которого ограничивают линии y=x^2-2x-2 и y=-x^2+2. Выполните чертеж. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение:

Для нахождения площади участка, ограниченного параболами \( y = x^2 - 2x - 2 \) и \( y = -x^2 + 2 \), необходимо:

1. Найти точки пересечения графиков. Приравняем уравнения: \( x^2 - 2x - 2 = -x^2 + 2 \).
2. Решим полученное квадратное уравнение: \( 2x^2 - 2x - 4 = 0 \). Разделим на 2: \( x^2 - x - 2 = 0 \).
3. Найдем корни уравнения: \( (x - 2)(x + 1) = 0 \). Корни: \( x_1 = -1 \) и \( x_2 = 2 \).
4. Теперь найдем соответствующие значения \( y \) для точек пересечения, подставив \( x \) в любое из уравнений. Возьмем \( y = -x^2 + 2 \):
   • При \( x = -1 \): \( y = -(-1)^2 + 2 = -1 + 2 = 1 \). Точка пересечения: \( (-1, 1) \).
   • При \( x = 2 \): \( y = -(2)^2 + 2 = -4 + 2 = -2 \). Точка пересечения: \( (2, -2) \).
5. Для вычисления площади используем определенный интеграл. Верхняя граница интегрирования — \( x_2 = 2 \), нижняя — \( x_1 = -1 \). Функция, из которой вычитаем, — это функция, расположенная выше. Определим, какая функция выше на интервале \( [-1, 2] \). Возьмем \( x = 0 \): \( y_1 = 0^2 - 2(0) - 2 = -2 \) и \( y_2 = -(0)^2 + 2 = 2 \). Следовательно, \( y = -x^2 + 2 \) находится выше.
6. Площадь \( S \) вычисляется по формуле: \[ S = \int_{-1}^{2} ((-x^2 + 2) - (x^2 - 2x - 2)) dx \]
7. Упростим подынтегральное выражение: \( S = \int_{-1}^{2} (-x^2 + 2 - x^2 + 2x + 2) dx = \int_{-1}^{2} (-2x^2 + 2x + 4) dx \)
8. Вычислим интеграл: \[ S = \left[ -\frac{2x^3}{3} + \frac{2x^2}{2} + 4x \right]_{-1}^{2} = \left[ -\frac{2x^3}{3} + x^2 + 4x \right]_{-1}^{2} \]
9. Подставим пределы интегрирования:
• При \( x = 2 \): \( -\frac{2(2)^3}{3} + (2)^2 + 4(2) = -\frac{16}{3} + 4 + 8 = -\frac{16}{3} + 12 = \frac{-16 + 36}{3} = \frac{20}{3} \)
• При \( x = -1 \): \( -\frac{2(-1)^3}{3} + (-1)^2 + 4(-1) = -\frac{2(-1)}{3} + 1 - 4 = \frac{2}{3} - 3 = \frac{2 - 9}{3} = -\frac{7}{3} \)
10. Вычтем значение в нижнем пределе из значения в верхнем пределе: \( S = \frac{20}{3} - \left(-\frac{7}{3}\right) = \frac{20}{3} + \frac{7}{3} = \frac{27}{3} = 9 \)

Ответ: 9 квадратных метров.