Вычислите по этим данным максимальную энергию катушки, если емкость конденсатора равна 405 пФ.

Решение:

Для определения максимальной энергии катушки, нам нужно найти максимальное значение силы тока, которое происходит, когда энергия конденсатора равна нулю. Из таблицы видно, что максимальное значение силы тока \( I_{max} \) равно 4 А. Также дано, что емкость конденсатора \( C = 405 \text{ пФ} \).

Сначала переведем емкость в Фарады: \( C = 405 \text{ пФ} = 405 \times 10^{-12} \text{ Ф} \).

Максимальная энергия катушки \( W_L \) равна максимальной энергии конденсатора \( W_C \), которая равна полной энергии колебательного контура. Формула для максимальной энергии катушки:

\[ W_L = \frac{1}{2} L I_{max}^2 \]\[ W_C = \frac{1}{2} C U_{max}^2 \]

Максимальная энергия катушки равна максимальной энергии конденсатора:

\[ W_L = W_C = W_{total} \]

Для расчета максимальной энергии катушки, нам необходима индуктивность \( L \). Однако, индуктивность \( L \) не дана напрямую. Мы можем найти максимальную энергию, если найдем максимальный заряд \( Q_{max} \) и затем энергию конденсатора. Формула для энергии конденсатора: \( W_C = \frac{Q_{max}^2}{2C} \).

Максимальный ток связан с максимальным зарядом через угловую частоту \( \omega \) колебаний: \( I_{max} = \omega Q_{max} \).

Также, мы знаем, что \( \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} \).

Из таблицы видно, что максимальная сила тока \( I_{max} = 4 \text{ А} \) достигается при \( t = 0 \) и \( t = 8 \times 10^{-6} \text{ с} \).

Максимальная энергия катушки будет равна максимальной энергии конденсатора. Для расчета нам нужно найти либо \( Q_{max} \) или \( U_{max} \) или \( L \).

Давайте воспользуемся законом сохранения энергии в колебательном контуре. Максимальная энергия в катушке (индуктивная энергия) равна максимальной энергии в конденсаторе (электрическая энергия).

Максимальное значение тока \( I_{max} = 4 \text{ А} \).

Для расчета максимальной энергии катушки, нам нужен период колебаний или угловая частота. Из данных таблицы, мы можем увидеть, что ток проходит через ноль при \( t = 2 \times 10^{-6} \text{ с} \) и \( t = 6 \times 10^{-6} \text{ с} \). Это соответствует четверти периода. Значит, четверть периода \( T/4 = 2 \times 10^{-6} \text{ с} \).

Период \( T = 4 \times 2 \times 10^{-6} = 8 \times 10^{-6} \text{ с} \).

Угловая частота \( \omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{8 \times 10^{-6}} = \frac{\pi}{4} \times 10^6 \text{ рад/с} \).

Мы знаем, что \( \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} \), следовательно, \( L = \frac{1}{\omega^2 C} \).

\[ L = \frac{1}{(\frac{\pi}{4} \times 10^6)^2 \times 405 \times 10^{-12}} = \frac{1}{\frac{\pi^2}{16} \times 10^{12} \times 405 \times 10^{-12}} = \frac{16}{405 \pi^2} \]\[ L \approx \frac{16}{405 \times (3.14159)^2} \approx \frac{16}{405 \times 9.8696} \approx \frac{16}{3997.188} \approx 0.004002 \text{ Гн} \]

Теперь рассчитаем максимальную энергию катушки:

\[ W_L = \frac{1}{2} L I_{max}^2 = \frac{1}{2} \times 0.004002 \times (4)^2 = \frac{1}{2} \times 0.004002 \times 16 = 0.004002 \times 8 \]\[ W_L \approx 0.032016 \text{ Дж} \]

Можно также рассчитать максимальную энергию, исходя из максимального заряда. Максимальный заряд \( Q_{max} \) можно найти из \( I_{max} = \omega Q_{max} \):

\[ Q_{max} = \frac{I_{max}}{\omega} = \frac{4}{\frac{\pi}{4} \times 10^6} = \frac{16}{\pi} \times 10^{-6} \]\[ Q_{max} \approx \frac{16}{3.14159} \times 10^{-6} \approx 5.093 \times 10^{-6} \text{ Кл} \]

Максимальная энергия конденсатора:

\[ W_C = \frac{Q_{max}^2}{2C} = \frac{(5.093 \times 10^{-6})^2}{2 \times 405 \times 10^{-12}} = \frac{25.9386 \times 10^{-12}}{810 \times 10^{-12}} \]\[ W_C \approx \frac{25.9386}{810} \approx 0.031998 \text{ Дж} \]

Округляя, получаем 0.032 Дж.

Ответ: 0.032 Дж