Вычислите предел: lim x→2 (x^2 + x - 6) / (x^2 - 4)

Решение:

Дан предел вида \( \frac{0}{0} \), поэтому применим правило Лопиталя или разложим числитель и знаменатель на множители.

Способ 1: Разложение на множители

1. Разложим числитель: \( x^2 + x - 6 = (x+3)(x-2) \).
2. Разложим знаменатель: \( x^2 - 4 = (x-2)(x+2) \).
3. Подставим разложенные множители в предел: \[ \lim_{x\to 2} \frac{(x+3)(x-2)}{(x-2)(x+2)} \]
4. Сократим общую скобку \( (x-2) \) при \( x \neq 2 \): \[ \lim_{x\to 2} \frac{x+3}{x+2} \]
5. Подставим \( x=2 \) в оставшееся выражение: \[ \frac{2+3}{2+2} = \frac{5}{4} = 1.25 \]

Способ 2: Правило Лопиталя

1. Проверим, что предел имеет неопределённость вида \( \frac{0}{0} \) или \( \frac{\infty}{\infty} \). При \( x=2 \): числитель \( 2^2 + 2 - 6 = 4 + 2 - 6 = 0 \), знаменатель \( 2^2 - 4 = 4 - 4 = 0 \). Неопределённость \( \frac{0}{0} \).
2. Возьмём производную числителя и знаменателя:
• Производная числителя: \( \frac{d}{dx}(x^2 + x - 6) = 2x + 1 \)
• Производная знаменателя: \( \frac{d}{dx}(x^2 - 4) = 2x \)
3. Применим правило Лопиталя: \[ \lim_{x\to 2} \frac{2x+1}{2x} \]
4. Подставим \( x=2 \): \[ \frac{2(2)+1}{2(2)} = \frac{4+1}{4} = \frac{5}{4} = 1.25 \]

Ответ: 1.25