Вычислите предел: lim x→4 (x^2-16)/(x-4)

Решение:

Дан предел функции:

\[ \lim_{x \to 4} \frac{x^2 - 16}{x - 4} \]

При подстановке \( x = 4 \) в выражение, получаем неопределённость вида \( \frac{0}{0} \). Для её раскрытия разложим числитель на множители, используя формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \).

1. Разложим числитель: \( x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4) \).


2. Подставим разложенное выражение обратно в предел:



\[ \lim_{x \to 4} \frac{(x - 4)(x + 4)}{x - 4} \]



3. Сократим общий множитель \( (x - 4) \) в числителе и знаменателе (так как \( x \to 4 \), то \( x \neq 4 \), и \( x - 4 \neq 0 \)):



\[ \lim_{x \to 4} (x + 4) \]



4. Теперь подставим \( x = 4 \) в оставшееся выражение:



\[ 4 + 4 = 8 \]

Ответ: 8.