Вычислите пределы: $$\lim_{x\to -2} \frac{x^2 - 4}{x^2 + 5x + 6}$$

Решение:

Заметим, что при подстановке \( x = -2 \) в числитель и знаменатель дроби получаем неопределенность вида \( \frac{0}{0} \). Для раскрытия неопределенности разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: \( x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \)

Знаменатель: \( x^2 + 5x + 6 \). Корни этого квадратного трехчлена находятся из уравнения \( x^2 + 5x + 6 = 0 \). По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = -5 \) и \( x_1 \cdot x_2 = 6 \). Корнями являются \( -2 \) и \( -3 \). Следовательно, \( x^2 + 5x + 6 = (x - (-2))(x - (-3)) = (x + 2)(x + 3) \).

Теперь подставим разложенные выражения в предел:

\[ \lim_{x\to -2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{(x + 2)(x + 3)} \]

Сокращаем общий множитель \( (x + 2) \):

\[ \lim_{x\to -2} \frac{x - 2}{x + 3} \]

Теперь подставим \( x = -2 \) в получившееся выражение:

\[ \frac{-2 - 2}{-2 + 3} = \frac{-4}{1} = -4 \]

Ответ: -4