Вычислите (предварительно сделав рисунок) площадь фигуры, ограниченной линиями (364-366). 364. a) y=x³, y=8, x=1; π π б) у=2 cos x, y=1, x=-, x=; 3 в) у=х²-2x+4, y=3, x=-1; 1 r) y=sinx, y=x=-, x=. 6' 365. a) y=4x-x², y=4-x; 16 б) у, у=2x, x=4; в) у=х2, у=2х; г) у=6-2х, у=6+x-x². 4- 5л x=- 6 366. a) y=x²-4x+4, y=4x²; б) у=x²-2x+2, y=2+6x-x²; в) у=х2, у=2х-x²; г) у=х2, у=х³.

364. a) y = x³, y = 8, x = 1

• Найдем точку пересечения y = x³ и y = 8:
• x³ = 8
• x = 2
• Площадь фигуры ограничена графиками y = x³, y = 8 и x = 1.
• Вычисляем площадь как интеграл:

\[\int_1^2 (8 - x^3) dx = [8x - \frac{x^4}{4}]_1^2 = (16 - 4) - (8 - \frac{1}{4}) = 12 - 8 + \frac{1}{4} = 4 + \frac{1}{4} = \frac{17}{4}\]

Ответ: \(\frac{17}{4}\)

364. б) y = 2cos x, y = 1, x = -\(\frac{\pi}{3}\), x = \(\frac{\pi}{3}\)

• Площадь фигуры ограничена графиками y = 2cos x, y = 1, x = -\(\frac{\pi}{3}\) и x = \(\frac{\pi}{3}\).
• Вычисляем площадь как интеграл:

\[\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}} (2\cos x - 1) dx = [2\sin x - x]_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}} = (2\sin(\frac{\pi}{3}) - \frac{\pi}{3}) - (2\sin(-\frac{\pi}{3}) + \frac{\pi}{3}) = 2\sin(\frac{\pi}{3}) - \frac{\pi}{3} + 2\sin(\frac{\pi}{3}) - \frac{\pi}{3} = 4\sin(\frac{\pi}{3}) - \frac{2\pi}{3} = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{2\pi}{3} = 2\sqrt{3} - \frac{2\pi}{3}\]

Ответ: \(2\sqrt{3} - \frac{2\pi}{3}\)

364. в) y = x² - 2x + 4, y = 3, x = -1

• Найдем точку пересечения y = x² - 2x + 4 и y = 3:
• x² - 2x + 4 = 3
• x² - 2x + 1 = 0
• (x - 1)² = 0
• x = 1
• Площадь фигуры ограничена графиками y = x² - 2x + 4, y = 3 и x = -1.
• Вычисляем площадь как интеграл:

\[\int_{-1}^1 (3 - (x^2 - 2x + 4)) dx = \int_{-1}^1 (-x^2 + 2x - 1) dx = [-\frac{x^3}{3} + x^2 - x]_{-1}^1 = (-\frac{1}{3} + 1 - 1) - (\frac{1}{3} + 1 + 1) = -\frac{1}{3} - \frac{1}{3} - 2 = -\frac{2}{3} - 2 = -\frac{8}{3}\]

Так как площадь не может быть отрицательной, берем модуль:

Ответ: \(\frac{8}{3}\)

364. г) y = sin x, y = \(\frac{1}{2}\), x = \(\frac{\pi}{6}\), x = \(\frac{5\pi}{6}\)

• Площадь фигуры ограничена графиками y = sin x, y = \(\frac{1}{2}\), x = \(\frac{\pi}{6}\) и x = \(\frac{5\pi}{6}\).
• Вычисляем площадь как интеграл:

\[\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}} (\sin x - \frac{1}{2}) dx = [-\cos x - \frac{1}{2}x]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}} = (-\cos(\frac{5\pi}{6}) - \frac{1}{2} \cdot \frac{5\pi}{6}) - (-\cos(\frac{\pi}{6}) - \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{6}) = -(-\frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{5\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{5\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{12} = \sqrt{3} - \frac{4\pi}{12} = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3}\]

Ответ: \(\sqrt{3} - \frac{\pi}{3}\)

365. a) y = 4x - x², y = 4 - x

• Найдем точки пересечения y = 4x - x² и y = 4 - x:
• 4x - x² = 4 - x
• x² - 5x + 4 = 0
• (x - 4)(x - 1) = 0
• x = 1, x = 4
• Площадь фигуры ограничена графиками y = 4x - x² и y = 4 - x на интервале [1, 4].
• Вычисляем площадь как интеграл:

\[\int_1^4 ((4x - x^2) - (4 - x)) dx = \int_1^4 (-x^2 + 5x - 4) dx = [-\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 4x]_1^4 = (-\frac{64}{3} + \frac{80}{2} - 16) - (-\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4) = -\frac{64}{3} + 40 - 16 + \frac{1}{3} - \frac{5}{2} + 4 = -\frac{63}{3} + 28 - \frac{5}{2} = -21 + 28 - \frac{5}{2} = 7 - \frac{5}{2} = \frac{14 - 5}{2} = \frac{9}{2}\]

Ответ: \(\frac{9}{2}\)

365. б) y = \(\frac{16}{x^2}\), y = 2x, x = 4

• Найдем точку пересечения y = \(\frac{16}{x^2}\) и y = 2x:
• \(\frac{16}{x^2}\) = 2x
• 2x³ = 16
• x³ = 8
• x = 2
• Площадь фигуры ограничена графиками y = \(\frac{16}{x^2}\), y = 2x и x = 4 на интервале [2, 4].
• Вычисляем площадь как интеграл:

\[\int_2^4 (\frac{16}{x^2} - 2x) dx = [-\frac{16}{x} - x^2]_2^4 = (-\frac{16}{4} - 16) - (-\frac{16}{2} - 4) = -4 - 16 + 8 + 4 = -8\]

Так как площадь не может быть отрицательной, берем модуль:

Ответ: 8

365. в) y = x², y = 2x

• Найдем точки пересечения y = x² и y = 2x:
• x² = 2x
• x² - 2x = 0
• x(x - 2) = 0
• x = 0, x = 2
• Площадь фигуры ограничена графиками y = x² и y = 2x на интервале [0, 2].
• Вычисляем площадь как интеграл:

\[\int_0^2 (2x - x^2) dx = [x^2 - \frac{x^3}{3}]_0^2 = (4 - \frac{8}{3}) - (0 - 0) = \frac{12 - 8}{3} = \frac{4}{3}\]

Ответ: \(\frac{4}{3}\)

365. г) y = 6 - 2x, y = 6 + x - x²

• Найдем точки пересечения y = 6 - 2x и y = 6 + x - x²:
• 6 - 2x = 6 + x - x²
• x² - 3x = 0
• x(x - 3) = 0
• x = 0, x = 3
• Площадь фигуры ограничена графиками y = 6 - 2x и y = 6 + x - x² на интервале [0, 3].
• Вычисляем площадь как интеграл:

\[\int_0^3 ((6 + x - x^2) - (6 - 2x)) dx = \int_0^3 (-x^2 + 3x) dx = [-\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2}]_0^3 = (-\frac{27}{3} + \frac{27}{2}) - (0) = -9 + \frac{27}{2} = \frac{-18 + 27}{2} = \frac{9}{2}\]

Ответ: \(\frac{9}{2}\)

366. a) y = x² - 4x + 4, y = 4 - x²

• Найдем точки пересечения y = x² - 4x + 4 и y = 4 - x²:
• x² - 4x + 4 = 4 - x²
• 2x² - 4x = 0
• 2x(x - 2) = 0
• x = 0, x = 2
• Площадь фигуры ограничена графиками y = x² - 4x + 4 и y = 4 - x² на интервале [0, 2].
• Вычисляем площадь как интеграл:

\[\int_0^2 ((4 - x^2) - (x^2 - 4x + 4)) dx = \int_0^2 (-2x^2 + 4x) dx = [-\frac{2x^3}{3} + 2x^2]_0^2 = (-\frac{16}{3} + 8) - (0) = \frac{-16 + 24}{3} = \frac{8}{3}\]

Ответ: \(\frac{8}{3}\)

366. б) y = x² - 2x + 2, y = 2 + 6x - x²

• Найдем точки пересечения y = x² - 2x + 2 и y = 2 + 6x - x²:
• x² - 2x + 2 = 2 + 6x - x²
• 2x² - 8x = 0
• 2x(x - 4) = 0
• x = 0, x = 4
• Площадь фигуры ограничена графиками y = x² - 2x + 2 и y = 2 + 6x - x² на интервале [0, 4].
• Вычисляем площадь как интеграл:

\[\int_0^4 ((2 + 6x - x^2) - (x^2 - 2x + 2)) dx = \int_0^4 (-2x^2 + 8x) dx = [-\frac{2x^3}{3} + 4x^2]_0^4 = (-\frac{128}{3} + 64) - (0) = \frac{-128 + 192}{3} = \frac{64}{3}\]

Ответ: \(\frac{64}{3}\)

366. в) y = x², y = 2x - x²

• Найдем точки пересечения y = x² и y = 2x - x²:
• x² = 2x - x²
• 2x² - 2x = 0
• 2x(x - 1) = 0
• x = 0, x = 1
• Площадь фигуры ограничена графиками y = x² и y = 2x - x² на интервале [0, 1].
• Вычисляем площадь как интеграл:

\[\int_0^1 ((2x - x^2) - x^2) dx = \int_0^1 (2x - 2x^2) dx = [x^2 - \frac{2x^3}{3}]_0^1 = (1 - \frac{2}{3}) - (0) = \frac{3 - 2}{3} = \frac{1}{3}\]

Ответ: \(\frac{1}{3}\)

366. г) y = x², y = x³

• Найдем точки пересечения y = x² и y = x³:
• x² = x³
• x³ - x² = 0
• x²(x - 1) = 0
• x = 0, x = 1
• Площадь фигуры ограничена графиками y = x² и y = x³ на интервале [0, 1].
• Вычисляем площадь как интеграл:

\[\int_0^1 (x^2 - x^3) dx = [\frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}]_0^1 = (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) - (0) = \frac{4 - 3}{12} = \frac{1}{12}\]

Ответ: \(\frac{1}{12}\)