Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Для вычисления площади фигуры, ограниченной заданными линиями, необходимо выполнить следующие шаги:
- Построить графики функций и линий, определяющих границы фигуры.
- Определить пределы интегрирования (значения x), соответствующие точкам пересечения или заданным вертикальным линиям.
- Найти площадь, используя определенный интеграл.
а) y=x4, y=0, x=−1, x=1
В данном случае фигура ограничена кривой \( y = x^4 \), осью абсцисс (\( y=0 \)) и вертикальными прямыми \( x = -1 \) и \( x = 1 \). Площадь вычисляется как интеграл от \( x^4 \) по dx в пределах от -1 до 1.
\( S_a = \int_{-1}^{1} x^4 dx \)
\[ S_a = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{-1}^{1} = \frac{1^5}{5} - \frac{(-1)^5}{5} = \frac{1}{5} - \left(-\frac{1}{5}\right) = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2}{5} \]
б) y=x4, y=1
Фигура ограничена кривой \( y = x^4 \) и горизонтальной прямой \( y = 1 \). Сначала найдем точки пересечения, приравняв \( x^4 = 1 \). Получаем \( x = -1 \) и \( x = 1 \). Площадь вычисляется как интеграл разности верхней и нижней функций по dx в пределах от -1 до 1.
\( S_б = \int_{-1}^{1} (1 - x^4) dx \)
\[ S_б = \left[ x - \frac{x^5}{5} \right]_{-1}^{1} = \left(1 - \frac{1^5}{5}\right) - \left(-1 - \frac{(-1)^5}{5}\right) = \left(1 - \frac{1}{5}\right) - \left(-1 + \frac{1}{5}\right) = \frac{4}{5} - \left(-\frac{4}{5}\right) = \frac{4}{5} + \frac{4}{5} = \frac{8}{5} \]
в) y = x2-4x+5, y=0, x=0, x=4
Фигура ограничена параболой \( y = x^2-4x+5 \), осью абсцисс (\( y=0 \)) и вертикальными прямыми \( x=0 \) и \( x=4 \). Проверим, что парабола не пересекает ось абсцисс в пределах от 0 до 4. Дискриминант \( D = (-4)^2 - 4 · 1 · 5 = 16 - 20 = -4 < 0 \). Так как ветви параболы направлены вверх, парабола всегда выше оси абсцисс. Площадь вычисляется как интеграл от \( x^2-4x+5 \) по dx в пределах от 0 до 4.
\( S_в = \int_{0}^{4} (x^2-4x+5) dx \)
\[ S_в = \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 5x \right]_{0}^{4} = \left( \frac{4^3}{3} - 2(4^2) + 5(4) \right) - (0) = \frac{64}{3} - 32 + 20 = \frac{64}{3} - 12 = \frac{64 - 36}{3} = \frac{28}{3} \]
г) y = x2-4x+5, y=5
Фигура ограничена параболой \( y = x^2-4x+5 \) и горизонтальной прямой \( y = 5 \). Найдем точки пересечения: \( x^2-4x+5 = 5 \) → \( x^2-4x = 0 \) → \( x(x-4) = 0 \). Точки пересечения: \( x = 0 \) и \( x = 4 \). Парабола \( y = x^2-4x+5 \) имеет вершину в точке \( x = -(-4)/(2 · 1) = 2 \). Значение \( y \) в вершине: \( 2^2 - 4(2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1 \). Так как вершина (1) ниже прямой \( y=5 \), то \( y=5 \) является верхней границей. Площадь вычисляется как интеграл разности верхней и нижней функций по dx в пределах от 0 до 4.
\( S_г = \int_{0}^{4} (5 - (x^2-4x+5)) dx = \int_{0}^{4} (5 - x^2 + 4x - 5) dx = \int_{0}^{4} (-x^2 + 4x) dx \)
\[ S_г = \left[ -\frac{x^3}{3} + 2x^2 \right]_{0}^{4} = \left( -\frac{4^3}{3} + 2(4^2) \right) - (0) = -\frac{64}{3} + 32 = \frac{-64 + 96}{3} = \frac{32}{3} \]
Ответ: а) ⅒⁄₅; б) ⅓⁄₅; в) ⅙⁄₃; г) ³²⁄₃
