Вычислите производную ctg'x

Давайте вычислим производную котангенса. Мы знаем, что \( cot x = \frac{\cos x}{\sin x} \). Чтобы найти производную \( \cot' x \), нужно использовать правило дифференцирования частного:

\[
(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
\]

В нашем случае, \( u = \cos x \) и \( v = \sin x \). Тогда:

* \( u' = (\cos x)' = -\sin x \)
* \( v' = (\sin x)' = \cos x \)

Теперь подставим это в формулу производной частного:

\[
(\frac{\cos x}{\sin x})' = \frac{(-\sin x)(\sin x) - (\cos x)(\cos x)}{\sin^2 x}
\]

Упростим числитель:

\[
-\sin^2 x - \cos^2 x = -(\sin^2 x + \cos^2 x)
\]

По основному тригонометрическому тождеству, \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \), поэтому:

\[
-(\sin^2 x + \cos^2 x) = -1
\]

Таким образом, производная равна:

\[
\frac{-1}{\sin^2 x} = -\frac{1}{\sin^2 x}
\]

Также, \( \frac{1}{\sin^2 x} = \csc^2 x \), где \( \csc x \) - это косеканс x. Поэтому, производная котангенса может быть записана как:

\[
-\csc^2 x
\]

Или, используя другое тригонометрическое тождество, \( 1 + \cot^2 x = \csc^2 x \):

\[
-\csc^2 x = -(1 + \cot^2 x)
\]

Итак, собираем все вместе. Формула для заполнения пропусков будет выглядеть так:

\[
\cot' x = (\frac{\cos x}{\sin x})' = \frac{\boxed{-\sin x} \cdot \boxed{\sin x} - \boxed{\cos x} \cdot \boxed{\cos x}}{\boxed{\sin^2 x}}
\]

Далее, упрощаем:

\[
\frac{-\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x} = \frac{-1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x
\]

Ответ:
\[
\cot' x = -\frac{1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x
\]