Вычислите производную функций по правилу дифференцирования: если у =ии, το y' = (uv)' = u' v + v'u y=(x²-1) cosx, u = x² - 1, => u' = (x²-1)' = (x²)' - (1)' = 2x -0 = 2x, v = cosx, => v' = (cosx)'= -sinx, => y' = (uv)' = u'v+uv' = 2xcosx + (x²-1) (-sinx) = 2xcosx - sinx (x² - 1) Примеры: 1) y = x² cosx 2) y = ex. 2x 3) y = 7x tgx 4) y = (2x + 1). x² 5) y = xlnx 6) y = ex lnx 18) y = 7x2 (2 + sinx) 19) y = -ctgx. 7x-2 20) y = x4 log2x 21) y=(x²-2) (2x - x³) 22) y = 2√x ex 23) y = 2x 2cosx 7) y = x 24) y = log3x2x 8) y = 4x - sinx 25) y = sinx - 9) y = 2 cosx(x-1) 26) )y = (x²-4x) (2x4 - 3x + 1) 10) y = (ex + 2) (6x-1) 27) y = (x + 1). sinx 11) y = lnx (2x - 3) 28) y = lnx 12) y = 18x cosx 29) y = (3 - 2x²)(x + x) 13) y = (14 + x). tgx 30) y = (2ex-1)(1-x) 14) y = -x.ex 31) y = 2log,x(1-x) 15) y = x². (x + 2) 32) y = log2xx4 16) y = (3x-2)(2x-1+5x) 17) y = lnx 5x

Чтобы помочь тебе с этими задачами на вычисление производных, давай рассмотрим несколько примеров: 1) \(y = x^2 \cdot \cos x\) * Здесь у нас произведение двух функций: \(u = x^2\) и \(v = \cos x\). * Производная произведения: \(y' = u'v + uv'\). * \(u' = 2x\), \(v' = -\sin x\). * Тогда, \(y' = 2x \cdot \cos x + x^2 \cdot (-\sin x) = 2x \cos x - x^2 \sin x\). 2) \(y = e^x \cdot 2x\) * \(u = e^x\), \(v = 2x\). * \(u' = e^x\), \(v' = 2\). * \(y' = e^x \cdot 2x + e^x \cdot 2 = 2e^x(x + 1)\). 3) \(y = 7x \cdot \tan x\) * \(u = 7x\), \(v = \tan x\). * \(u' = 7\), \(v' = \sec^2 x\). * \(y' = 7 \cdot \tan x + 7x \cdot \sec^2 x\). 4) \(y = (2x + 1) \cdot x^2\) * \(u = 2x + 1\), \(v = x^2\). * \(u' = 2\), \(v' = 2x\). * \(y' = 2 \cdot x^2 + (2x + 1) \cdot 2x = 2x^2 + 4x^2 + 2x = 6x^2 + 2x\). 5) \(y = x \cdot \ln x\) * \(u = x\), \(v = \ln x\). * \(u' = 1\), \(v' = \frac{1}{x}\). * \(y' = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1\). 6) \(y = \frac{1}{2}e^x \cdot \ln x\) * \(u = \frac{1}{2}e^x\), \(v = \ln x\). * \(u' = \frac{1}{2}e^x\), \(v' = \frac{1}{x}\). * \(y' = \frac{1}{2}e^x \cdot \ln x + \frac{1}{2}e^x \cdot \frac{1}{x} = \frac{e^x}{2} (\ln x + \frac{1}{x})\). 7) \(y = \frac{5}{3}x\) * Это просто линейная функция, поэтому \(y' = \frac{5}{3}\). 8) \(y = 4x^2 \cdot \sin x\) * \(u = 4x^2\), \(v = \sin x\). * \(u' = 8x\), \(v' = \cos x\). * \(y' = 8x \cdot \sin x + 4x^2 \cdot \cos x\). 9) \(y = 2 \cos x \cdot (x - 1)\) * \(u = 2 \cos x\), \(v = x - 1\). * \(u' = -2 \sin x\), \(v' = 1\). * \(y' = -2 \sin x \cdot (x - 1) + 2 \cos x \cdot 1 = -2(x - 1)\sin x + 2 \cos x\). 10) \(y = (e^x + 2) \cdot (6x - 1)\) * \(u = e^x + 2\), \(v = 6x - 1\). * \(u' = e^x\), \(v' = 6\). * \(y' = e^x \cdot (6x - 1) + (e^x + 2) \cdot 6 = (6x - 1)e^x + 6e^x + 12 = (6x + 5)e^x + 12\). 11) \(y = \ln x \cdot (2x - 3)\) * \(u = \ln x\), \(v = 2x - 3\). * \(u' = \frac{1}{x}\), \(v' = 2\). * \(y' = \frac{1}{x} \cdot (2x - 3) + \ln x \cdot 2 = \frac{2x - 3}{x} + 2 \ln x\). 12) \(y = 18x \cdot \cos x\) * \(u = 18x\), \(v = \cos x\). * \(u' = 18\), \(v' = -\sin x\). * \(y' = 18 \cdot \cos x + 18x \cdot (-\sin x) = 18 \cos x - 18x \sin x\). 13) \(y = (14 + x) \cdot \tan x\) * \(u = 14 + x\), \(v = \tan x\). * \(u' = 1\), \(v' = \sec^2 x\). * \(y' = 1 \cdot \tan x + (14 + x) \cdot \sec^2 x = \tan x + (14 + x) \sec^2 x\). 14) \(y = -x \cdot e^x\) * \(u = -x\), \(v = e^x\). * \(u' = -1\), \(v' = e^x\). * \(y' = -1 \cdot e^x + (-x) \cdot e^x = -e^x - xe^x = -e^x(1 + x)\). 15) \(y = \frac{1}{2}x^2 \cdot (x^6 + 2)\) * \(u = \frac{1}{2}x^2\), \(v = x^6 + 2\). * \(u' = x\), \(v' = 6x^5\). * \(y' = x \cdot (x^6 + 2) + \frac{1}{2}x^2 \cdot 6x^5 = x^7 + 2x + 3x^7 = 4x^7 + 2x\). 16) \(y = (3x - 2) \cdot (2x^{-1} + 5x)\) * \(u = 3x - 2\), \(v = 2x^{-1} + 5x\). * \(u' = 3\), \(v' = -2x^{-2} + 5\). * \(y' = 3 \cdot (2x^{-1} + 5x) + (3x - 2) \cdot (-2x^{-2} + 5) = 6x^{-1} + 15x - 6x^{-1} + 15x + 4x^{-2} - 10 = 30x + 4x^{-2} - 10\). 17) \(y = \frac{1}{3} \ln x \cdot 5x\) * \(u = \frac{1}{3} \ln x\), \(v = 5x\). * \(u' = \frac{1}{3x}\), \(v' = 5\). * \(y' = \frac{1}{3x} \cdot 5x + \frac{1}{3} \ln x \cdot 5 = \frac{5}{3} + \frac{5}{3} \ln x = \frac{5}{3}(1 + \ln x)\). 18) \(y = 7x^2 \cdot (2 + \sin x)\) * \(u = 7x^2\), \(v = 2 + \sin x\). * \(u' = 14x\), \(v' = \cos x\). * \(y' = 14x \cdot (2 + \sin x) + 7x^2 \cdot \cos x = 28x + 14x \sin x + 7x^2 \cos x\). 19) \(y = -\frac{1}{2} \cot x \cdot 7x^{-2}\) * \(u = -\frac{1}{2} \cot x\), \(v = 7x^{-2}\). * \(u' = \frac{1}{2} \csc^2 x\), \(v' = -14x^{-3}\). * \(y' = \frac{1}{2} \csc^2 x \cdot 7x^{-2} - \frac{1}{2} \cot x \cdot (-14x^{-3}) = \frac{7 \csc^2 x}{2x^2} + \frac{7 \cot x}{x^3}\). 20) \(y = \frac{1}{4}x^4 \cdot \log_2 x\) * \(u = \frac{1}{4}x^4\), \(v = \log_2 x\). * \(u' = x^3\), \(v' = \frac{1}{x \ln 2}\). * \(y' = x^3 \cdot \log_2 x + \frac{1}{4}x^4 \cdot \frac{1}{x \ln 2} = x^3 \log_2 x + \frac{x^3}{4 \ln 2}\). 21) \(y = (x^2 - 2) \cdot (2x - x^3)\) * \(u = x^2 - 2\), \(v = 2x - x^3\). * \(u' = 2x\), \(v' = 2 - 3x^2\). * \(y' = 2x \cdot (2x - x^3) + (x^2 - 2) \cdot (2 - 3x^2) = 4x^2 - 2x^4 + 2x^2 - 3x^4 - 4 + 6x^2 = -5x^4 + 12x^2 - 4\). 22) \(y = 2\sqrt{x} \cdot e^x\) * \(u = 2\sqrt{x}\), \(v = e^x\). * \(u' = x^{-\frac{1}{2}}\), \(v' = e^x\). * \(y' = x^{-\frac{1}{2}} \cdot e^x + 2\sqrt{x} \cdot e^x = \frac{e^x}{\sqrt{x}} + 2\sqrt{x}e^x = e^x(\frac{1}{\sqrt{x}} + 2\sqrt{x})\). 23) \(y = 2^x \cdot 2 \cos x\) * \(u = 2^x\), \(v = 2 \cos x\). * \(u' = 2^x \ln 2\), \(v' = -2 \sin x\). * \(y' = 2^x \ln 2 \cdot 2 \cos x + 2^x \cdot (-2 \sin x) = 2^{x+1} \cos x \ln 2 - 2^{x+1} \sin x\). 24) \(y = \log_3 x \cdot 2x\) * \(u = \log_3 x\), \(v = 2x\). * \(u' = \frac{1}{x \ln 3}\), \(v' = 2\). * \(y' = \frac{1}{x \ln 3} \cdot 2x + \log_3 x \cdot 2 = \frac{2}{\ln 3} + 2 \log_3 x\). 25) \(y = \frac{x^{-2}}{2} \cdot \sin x\) * \(u = \frac{x^{-2}}{2}\), \(v = \sin x\). * \(u' = -x^{-3}\), \(v' = \cos x\). * \(y' = -x^{-3} \cdot \sin x + \frac{x^{-2}}{2} \cdot \cos x = -\frac{\sin x}{x^3} + \frac{\cos x}{2x^2}\). 26) \(y = (x^2 - 4x) \cdot (2x^4 - 3x + 1)\) * \(u = x^2 - 4x\), \(v = 2x^4 - 3x + 1\). * \(u' = 2x - 4\), \(v' = 8x^3 - 3\). * \(y' = (2x - 4) \cdot (2x^4 - 3x + 1) + (x^2 - 4x) \cdot (8x^3 - 3) = 4x^5 - 6x^2 + 2x - 8x^4 + 12x - 4 + 8x^5 - 3x^2 - 32x^4 + 12x = 12x^5 - 40x^4 - 9x^2 + 26x - 4\). 27) \(y = (x + 1) \cdot \sin x\) * \(u = x + 1\), \(v = \sin x\). * \(u' = 1\), \(v' = \cos x\). * \(y' = 1 \cdot \sin x + (x + 1) \cdot \cos x = \sin x + (x + 1) \cos x\). 28) \(y = \frac{x}{2} \cdot \ln x\) * \(u = \frac{x}{2}\), \(v = \ln x\). * \(u' = \frac{1}{2}\), \(v' = \frac{1}{x}\). * \(y' = \frac{1}{2} \cdot \ln x + \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{x} = \frac{\ln x}{2} + \frac{1}{2}\). 29) \(y = (3 - 2x^2) \cdot (x^6 + x)\) * \(u = 3 - 2x^2\), \(v = x^6 + x\). * \(u' = -4x\), \(v' = 6x^5 + 1\). * \(y' = -4x \cdot (x^6 + x) + (3 - 2x^2) \cdot (6x^5 + 1) = -4x^7 - 4x^2 + 18x^5 + 3 - 12x^7 - 2x^2 = -16x^7 + 18x^5 - 6x^2 + 3\). 30) \(y = (2e^x - 1) \cdot (1 - x)\) * \(u = 2e^x - 1\), \(v = 1 - x\). * \(u' = 2e^x\), \(v' = -1\). * \(y' = 2e^x \cdot (1 - x) + (2e^x - 1) \cdot (-1) = 2e^x - 2xe^x - 2e^x + 1 = -2xe^x + 1\). 31) \(y = 2 \log_7 x \cdot (1 - x)\) * \(u = 2 \log_7 x\), \(v = 1 - x\). * \(u' = \frac{2}{x \ln 7}\), \(v' = -1\). * \(y' = \frac{2}{x \ln 7} \cdot (1 - x) + 2 \log_7 x \cdot (-1) = \frac{2(1 - x)}{x \ln 7} - 2 \log_7 x\). 32) \(y = \log_2 x \cdot x^4\) * \(u = \log_2 x\), \(v = x^4\). * \(u' = \frac{1}{x \ln 2}\), \(v' = 4x^3\). * \(y' = \frac{1}{x \ln 2} \cdot x^4 + \log_2 x \cdot 4x^3 = \frac{x^3}{\ln 2} + 4x^3 \log_2 x\). 33) \(y = (-x^3 + x^2) \cdot (1 - x^3)\) * \(u = -x^3 + x^2\), \(v = 1 - x^3\). * \(u' = -3x^2 + 2x\), \(v' = -3x^2\). * \(y' = (-3x^2 + 2x) \cdot (1 - x^3) + (-x^3 + x^2) \cdot (-3x^2) = -3x^2 + 3x^5 + 2x - 2x^4 + 3x^5 - 3x^4 = 6x^5 - 5x^4 - 3x^2 + 2x\). 34) \(y = \sin x \cdot (\cos x - 2)\) * \(u = \sin x\), \(v = \cos x - 2\). * \(u' = \cos x\), \(v' = -\sin x\). * \(y' = \cos x \cdot (\cos x - 2) + \sin x \cdot (-\sin x) = \cos^2 x - 2 \cos x - \sin^2 x = \cos 2x - 2 \cos x\). Надеюсь, эти примеры помогут тебе разобраться с вычислением производных!