Вычислите с помощью формул приведения синус, косинус, тангенс и котангенс следующих углов: а) 150°; б) 225°; в) 240°; г) 315°; д) $$\frac{5\pi}{4}$$; е) $$\frac{2\pi}{3}$$.

Решение: а) 150° * $$\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$$ * $$\cos(150^\circ) = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$ * $$\tan(150^\circ) = \frac{\sin(150^\circ)}{\cos(150^\circ)} = \frac{1/2}{-\sqrt{3}/2} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$ * $$\cot(150^\circ) = \frac{1}{\tan(150^\circ)} = -\sqrt{3}$$ б) 225° * $$\sin(225^\circ) = \sin(180^\circ + 45^\circ) = -\sin(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ * $$\cos(225^\circ) = \cos(180^\circ + 45^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ * $$\tan(225^\circ) = \frac{\sin(225^\circ)}{\cos(225^\circ)} = \frac{-\sqrt{2}/2}{-\sqrt{2}/2} = 1$$ * $$\cot(225^\circ) = \frac{1}{\tan(225^\circ)} = 1$$ в) 240° * $$\sin(240^\circ) = \sin(180^\circ + 60^\circ) = -\sin(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$ * $$\cos(240^\circ) = \cos(180^\circ + 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}$$ * $$\tan(240^\circ) = \frac{\sin(240^\circ)}{\cos(240^\circ)} = \frac{-\sqrt{3}/2}{-1/2} = \sqrt{3}$$ * $$\cot(240^\circ) = \frac{1}{\tan(240^\circ)} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$ г) 315° * $$\sin(315^\circ) = \sin(360^\circ - 45^\circ) = -\sin(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ * $$\cos(315^\circ) = \cos(360^\circ - 45^\circ) = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ * $$\tan(315^\circ) = \frac{\sin(315^\circ)}{\cos(315^\circ)} = \frac{-\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2} = -1$$ * $$\cot(315^\circ) = \frac{1}{\tan(315^\circ)} = -1$$ д) $$\frac{5\pi}{4}$$ (в радианах) * $$\sin(\frac{5\pi}{4}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ * $$\cos(\frac{5\pi}{4}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ * $$\tan(\frac{5\pi}{4}) = \frac{\sin(5\pi/4)}{\cos(5\pi/4)} = \frac{-\sqrt{2}/2}{-\sqrt{2}/2} = 1$$ * $$\cot(\frac{5\pi}{4}) = \frac{1}{\tan(5\pi/4)} = 1$$ е) $$\frac{2\pi}{3}$$ (в радианах) * $$\sin(\frac{2\pi}{3}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ * $$\cos(\frac{2\pi}{3}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$$ * $$\tan(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sin(2\pi/3)}{\cos(2\pi/3)} = \frac{\sqrt{3}/2}{-1/2} = -\sqrt{3}$$ * $$\cot(\frac{2\pi}{3}) = \frac{1}{\tan(2\pi/3)} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$ Развернутое объяснение для школьника: Для решения этих задач используются формулы приведения, которые позволяют упростить вычисление тригонометрических функций углов, больших 90 градусов (или $$\frac{\pi}{2}$$ радиан). Основная идея состоит в том, чтобы представить угол в виде суммы или разности угла, кратного 90 градусам (или $$\frac{\pi}{2}$$ радиан), и острого угла (меньше 90 градусов или $$\frac{\pi}{2}$$ радиан). Например, $$\sin(150^\circ)$$ можно представить как $$\sin(180^\circ - 30^\circ)$$. Затем, используя формулу приведения, $$\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$$, получаем $$\sin(150^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$$. Аналогично, $$\cos(225^\circ)$$ можно представить как $$\cos(180^\circ + 45^\circ)$$. Формула приведения $$\cos(180^\circ + \alpha) = -\cos(\alpha)$$ дает $$\cos(225^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$. Тангенс и котангенс вычисляются как отношение синуса к косинусу и наоборот, соответственно. Например, $$\tan(150^\circ) = \frac{\sin(150^\circ)}{\cos(150^\circ)}$$. При работе с радианами используется аналогичный подход, заменяя 90 градусов на $$\frac{\pi}{2}$$ радиан, 180 градусов на $$\pi$$ радиан и т.д.