Вычислите, сделав предварительно рисунок, площадь фигуры, ограниченной линиями: y = 0.5 x², y = 0, x = 2, x = 0.

Решение:

Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = 0.5x^2 \), \( y = 0 \) (ось абсцисс), \( x = 0 \) (ось ординат) и \( x = 2 \).

Данная фигура представляет собой область под параболой \( y = 0.5x^2 \) на отрезке \( [0, 2] \) оси абсцисс.

Площадь \( S \) можно вычислить с помощью определенного интеграла:

\[ S = \int_{0}^{2} 0.5x^2 \, dx \]

Вычисляем интеграл:

\[ S = 0.5 \int_{0}^{2} x^2 \, dx = 0.5 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} \]

Подставляем пределы интегрирования:

\[ S = 0.5 \left( \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) = 0.5 \left( \frac{8}{3} - 0 \right) = 0.5 \cdot \frac{8}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3} = \frac{4}{3} \]

Ответ: \( \frac{4}{3} \).