1041 Вычислите скалярное произведение векторов а и 1042 1043 1044 |a|=2, b = 3, а угол между ними равен: а) 45°; 6) 90°: В равностороннем треугольнике АВС со стороной а на высота BD. Вычислите скалярное произведение ве a) AB. AC; 6) ACCB; в) АС. BD; г) AC. AC. . ис К одной и той же точке приложены две силы Р ющие под углом 120° друг к другу, причём | Р |= Найдите величину равнодействующей силы Ŕ. Вычислите скалярное произведение векторов а a) {1; -1}, {2,3}; 6) a {-5; 6}, 6 {6; 5}; в) а {1,5; 2}, {4; −0,5}. 1045 Докажите, что ненулевые векторы а{x; y} и б{ дикулярны. ← ← → 1046 Докажите, что векторы + и - перпендикул 1047 - координатные векторы. → При каком значении х векторы аи в пер

1041. Вычислите скалярное произведение векторов \[\vec{a}\] и \[\vec{b}\] при заданных условиях:

а) Угол между векторами равен 45°:

Скалярное произведение \[\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)\]

Подставляем значения: \[\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 3 \cdot \cos(45^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}\]

б) Угол между векторами равен 90°:

Скалярное произведение \[\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)\]

Подставляем значения: \[\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 3 \cdot \cos(90^\circ) = 6 \cdot 0 = 0\]

Ответ: а) \[3\sqrt{2}\]; б) 0

1042. В равностороннем треугольнике ABC со стороной a найдите скалярное произведение векторов, если BD - высота.

a) \[\vec{AB} \cdot \vec{AC}\]

Скалярное произведение \[\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(60^\circ) = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}\]

б) \[\vec{AC} \cdot \vec{CB}\]

Скалярное произведение \[\vec{AC} \cdot \vec{CB} = |\vec{AC}| \cdot |\vec{CB}| \cdot \cos(120^\circ) = a \cdot a \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{a^2}{2}\]

в) \[\vec{AC} \cdot \vec{BD}\]

Т.к. BD - высота, то угол между AC и BD равен 90°

Скалярное произведение \[\vec{AC} \cdot \vec{BD} = |\vec{AC}| \cdot |\vec{BD}| \cdot \cos(90^\circ) = a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot 0 = 0\]

г) \[\vec{AC} \cdot \vec{AC}\]

Скалярное произведение \[\vec{AC} \cdot \vec{AC} = |\vec{AC}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(0^\circ) = a \cdot a \cdot 1 = a^2\]

Ответ: a) \[\frac{a^2}{2}\]; б) \[-\frac{a^2}{2}\]; в) 0; г) \[a^2\]

1043. К одной и той же точке приложены две силы \[\vec{P}\] и \[\vec{P}\] равные по величине и образующие угол 120° друг к другу. Найдите величину равнодействующей силы \[\vec{R}\].

Равнодействующая сила \[\vec{R}\] равна векторной сумме двух сил \[\vec{P}\] и \[\vec{P}\]. Так как угол между силами 120°, а силы равны по величине, то равнодействующая также будет равна по величине каждой из этих сил.

По закону параллелограмма:

\[R^2 = P^2 + P^2 + 2 \cdot P \cdot P \cdot \cos(120^\circ)\]

\[R^2 = 2P^2 + 2P^2 \cdot (-\frac{1}{2})\]

\[R^2 = 2P^2 - P^2 = P^2\]

\[R = P\]

Ответ: \(R = |P|\)

1044. Вычислите скалярное произведение векторов \[\vec{a}\] и \[\vec{b}\]:

a) \(\vec{a} \{1; -1\}, \vec{b} \{2; 3\}\)

Скалярное произведение \[\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y\]

Подставляем значения: \[\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 2 + (-1) \cdot 3 = 2 - 3 = -1\]

б) \(\vec{a} \{-5; 6\}, \vec{b} \{6; 5\}\)

Скалярное произведение \[\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y\]

Подставляем значения: \[\vec{a} \cdot \vec{b} = -5 \cdot 6 + 6 \cdot 5 = -30 + 30 = 0\]

в) \(\vec{a} \{1.5; 2\}, \vec{b} \{4; -0.5\}\)

Скалярное произведение \[\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y\]

Подставляем значения: \[\vec{a} \cdot \vec{b} = 1.5 \cdot 4 + 2 \cdot (-0.5) = 6 - 1 = 5\]

Ответ: а) -1; б) 0; в) 5

1045. Докажите, что ненулевые векторы \(\vec{a} \{x; y\}\) и \(\vec{b} \{-y; x\}\) перпендикулярны.

Чтобы доказать, что векторы перпендикулярны, нужно показать, что их скалярное произведение равно нулю.

Скалярное произведение \[\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y\]

Подставляем значения: \[\vec{a} \cdot \vec{b} = x \cdot (-y) + y \cdot x = -xy + xy = 0\]

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны.

Ответ: Векторы перпендикулярны, т.к. их скалярное произведение равно 0.

1046. Докажите, что векторы \(\vec{i} + \vec{j}\) и \(\vec{i} - \vec{j}\) перпендикулярны.

Пусть \[\vec{a} = \vec{i} + \vec{j} = \{1; 1\}\] и \[\vec{b} = \vec{i} - \vec{j} = \{1; -1\}\]

Скалярное произведение \[\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y\]

Подставляем значения: \[\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) = 1 - 1 = 0\]

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны.

Ответ: Векторы перпендикулярны, т.к. их скалярное произведение равно 0.

1047. При каком значении x векторы \[\vec{a}\] и \(\vec{b}\) перпендикулярны, если даны их координаты?

Задание не содержит данных о координатах векторов. Необходимо уточнение.

Ответ: Необходимо уточнение условия задачи.