1052 - Вычислите скалярное произведение векторов р=а-б-си q=a-b+с, если |a|= 5, |6 |= 2, ||= 4 иа 1б.

Привет! Сейчас разберемся с этой задачкой на скалярное произведение.

Логика такая:

1. Вычислим скалярное произведение векторов \[\vec{p}\] и \[\vec{q}\]:

   \[\vec{p} \cdot \vec{q} = (\vec{a} - \vec{b} - \vec{c}) \cdot (\vec{a} - \vec{b} + \vec{c})\]

2. Раскроем скобки, используя дистрибутивность скалярного произведения:

   \[\vec{p} \cdot \vec{q} = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} - \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{c} - \vec{c} \cdot \vec{a} + \vec{c} \cdot \vec{b} - \vec{c} \cdot \vec{c}\]

3. Так как скалярное произведение коммутативно, то \[\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}\,\], \[\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a}\,\], и \[\vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{b}\]. Тогда:

   \[\vec{p} \cdot \vec{q} = |\vec{a}|^2 - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} - \vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 - \vec{b} \cdot \vec{c} - \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c} - |\vec{c}|^2\]

4. Упростим выражение, сокращая одинаковые слагаемые с разными знаками:

   \[\vec{p} \cdot \vec{q} = |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 - |\vec{c}|^2\]

5. Из условия известно, что \[\vec{a} \perp \vec{b}\], а значит, их скалярное произведение равно нулю: \[\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\]. Тогда:

   \[\vec{p} \cdot \vec{q} = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - |\vec{c}|^2\]

6. Подставим известные значения длин векторов:

   \[\vec{p} \cdot \vec{q} = 5^2 + 2^2 - 4^2\]

7. Вычислим:

   \[\vec{p} \cdot \vec{q} = 25 + 4 - 16 = 13\]

Ответ: 13

Проверка за 10 секунд: Убедись, что правильно раскрыл скобки и учел перпендикулярность векторов.

Доп. профит: Используй свойства скалярного произведения для упрощения выражений.