Вычислите \(\sqrt{27+10\sqrt{2}}\).

Представим выражение под корнем в виде квадрата суммы:

\[27+10\sqrt{2}=a^2+2ab+b^2,\]

где \(a^2+b^2=27\), а \(2ab=10\sqrt{2}\), то есть \(ab=5\sqrt{2}\). Подходят числа \(a=5\) и \(b=\sqrt{2}\):

\[5^2+2\cdot5\cdot\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^2=25+10\sqrt{2}+2=27+10\sqrt{2}.\]

Следовательно,

\[\sqrt{27+10\sqrt{2}}=\sqrt{(5+\sqrt{2})^2}=|5+\sqrt{2}|=5+\sqrt{2}.\]

Ответ: \(5+\sqrt{2}\).